Enunciado

26 Encontre todos os escalares c1, c2, c3 tais que

c 1 1 ,   2 ,   0 + c 2 2 ,   1 ,   1 + c 3 0 ,   3 ,   1 = 0 ,   0 ,   0

Passo 1

Vamos multiplicar esses escalares. Quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, nesse caso:

c 1 1 ,   2 ,   0 = c 1 ,   2 c 1 ,   0

c 2 2 ,   1 ,   1 = 2 c 2 ,   c 2 ,   c 2

e

c 3 0 ,   3 ,   1 = 0 ,   3 c 3 ,   c 3

Substituindo tudo na equação dada:

c 1 ,   2 c 1 ,   0 + 2 c 2 ,   c 2 ,   c 2 + 0 ,   3 c 3 ,   c 3 = 0 ,   0 ,   0

Passo 2

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o termo corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante.

Somando os termos, temos:

c 1 ,   2 c 1 ,   0 + 2 c 2 ,   c 2 ,   c 2 + 0 ,   3 c 3 ,   c 3 = 0 ,   0 ,   0

c 1 + 2 c 2 ,   2 c 1 + c 2 + 3 c 3 ,   c 2 + c 3 = 0 ,   0 ,   0

Vamos montar uma equação para cada um desses termos:

c 1 + 2 c 2 = 0 2 c 1 + c 2 + 3 c 3 = 0 c 2 + c 3 = 0

Passo 3

Da primeira equação nós tiramos que:

c 1 + 2 c 2 = 0

c 1 = - 2 c 2

E da terceira equação nós tiramos que:

c 2 + c 3 = 0

c 3 = - c 2

Subtituindo esses dois resultados na segunda equação:

2 c 1 + c 2 + 3 c 3 = 0

2 ⋅ - 2 c 2 + c 2 + 3 ⋅ - c 2 = 0

- 4 c 2 + c 2 - 3 c 2 = 0

Ou seja:

- 6 c 2 = 0

c 2 = 0

Subtituindo na primeira equação:

c 1 + 2 ⋅ 0 = 0

c 1 = 0

E substituindo na terceira equação:

0 + c 3 = 0

c 3 = 0

Ou seja, esses escalares só podem assumir o valor nulo:

c 1 = c 2 = c 3 = 0

Resposta

c 1 = c 2 = c 3 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre um vetor unitário que seja ortogonal tanto a u → = ( 1,0 , 1 ) quanto a v → = ( 0,1 , 1 )
Nos exercícios 3-4, determine se os vetores formam um conjunto ortogonal v 1 = ( - 3,4 , - 1 ) , v 2 = ( 1,2 , 5 ) , v 3 = ( 4 , - 3,0 )
Nos exercícios 3-4, determine se os vetores formam um conjunto ortogonal v 1 = ( 1,0 , 1 ) , v 2 = ( 1,1 , 1 ) , v 3 = ( - 1,0 , 1 )
Repita o Exercício 7 com os pontos A(3,0,2), B(4,3,0) e C(8,1,-1)
Nos Exercícios 13-16, determine se os planos dados são paralelos 4 x - y + 2 z = 5 7 x - 3 y + 4 z = 8