Repita o Exercício 7 com os pontos A(3,0,2), B(4,3,0) e C(8,1,-1)

Passo 1

Para que um triângulo seja um triângulo retângulo um de seus ângulos deve ser igual à noventa graus. Então primeiro vamos calcular os lados do triângulo:

A B → = B - A = 4,3 , 0 - 3,0 , 2 ⇒ A B → = ( 1,3 , - 2 )

B C → = C - B = 8,1 , - 1 - 4,3 , 0 ⇒ A B → = ( 4 , - 2 , - 1 )

C A → = A - C = 3,0 , 2 - 8,1 , - 1 ⇒ C A → = - 5 , - 1 , 3

Passo 2

Então vamos calcular o ângulo entre cada um dos lados. Se algum deles for noventa graus, então o triângulo é retângulo.

Vamos utilizar a Equação 20 da seção 3.2 para calcular o ângulo entre A B →   e   B C →

cos ⁡ α = A B → ⋅ B C → A B → ⋅ B C →

Aplicamos os valores dos seguimentos:

cos ⁡ α = 1,3 , - 2 ⋅ ( 4 , - 2 , - 1 ) 1,3 , - 2 ⋅ ( 4 , - 2 , - 1 )

Efetuamos os cálculos

cos ⁡ α = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ - 2 + - 2 ⋅ ( - 1 ) 1 2 + 3 2 + - 2 2 ⋅ 4 2 + - 2 2 + - 1 2

cos ⁡ α = 4 - 6 + 2 14 ⋅ 21

cos ⁡ α = 0

α = acos ⁡ 0

Chegamos numa solução

α = 90 º

Como o ângulo entre A B →   e   B C → é noventa graus, então podemos garantir que esse é um triângulo retângulo.

Resposta

É um triângulo retângulo

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