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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 17

Encontre os valores de k com os quais A é invertível.

A = ([[1,2,4],[3,1,6],[k,3,2]])

Passo 1

Para essa questão, o grande objetivo é calcular o determinante e verificar se ele é diferente de zero.

Se det (A) != 0 , a matriz é invertível. Caso contrário, ela não é invertível

Com isso, vamos achar uma equação que relacione o fator k com a condição para que seja invertível e calcular os valores para que isso aconteça.

Passo 2

Após estabelecermos a condição para que A seja invertível, vamos calcular o determinante usando o Teorema de Laplace.

A = ([[1,2,4],[3,1,6],[k,3,2]])

det (A) = 1 |[[1,6],[3,2]]| - 2 |[[3,6],[k,2]]| + 4 |[[3,1],[k,3]]|

det (A) = 1 ((2) - (18)) - 2 ((6) - (6 k)) + 4 ((9) - (k))

det (A) = - 16 - 12 + 12 k + 36 - 4 k

det (A) = 8 k + 8

Passo 3

Para acharmos um valor de k tal que a matriz A seja invertível, vamos resolver a equação para det (A) != 0

8 k + 8 != 0

Resolvendo, temos:

8 k + 8 != 0 -> 8 k != - 8 -> k = - 1

Resposta

Os valores de k para que a matriz seja invertível são k != - 1

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