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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 28

Resolva - x 1 - 4 x 2 + 2 x 3 + x 4 = - 32 2 x 1 - x 2 + 7 x 3 + 9 x 4 = 14 - x 1 + x 2 + 3 x 3 + x 4 = 11 x 1 - 2 x 2 + x 3 - 4 x 4 = - 4 usando a regra de Cramer, quando aplicável.

Passo 1

Nessa questão, temos que aplicar a regra de Cramer. Para isso, temos que colocar o sistema como uma equação matricial:

- 1 2 - 1 1 - 4 - 1 1 - 2 2 7 3 1 1 9 1 - 4 x 1 x 2 x 3 x 4 = - 32 14 11 - 4

Passo 2

Vamos então calcular o determinante de - 1 2 - 1 1 - 4 - 1 1 - 2 2 7 3 1 1 9 1 - 4 para começarmos a aplicar a regra de Cramer:

Com matrizes 4 × 4 , é mais simples fazer a elminição de Gauss Jordan a fim de aparecer uma matriz triangular com zeros abaixo da diagonal principa. Assim, seu determinante será o produto dessa diagonal.

- 1 2 - 1 1 - 4 - 1 1 - 2 2 7 3 1 1 9 1 - 4 → L 2 → L 2 + 2 L 1 L 3 → L 3 - L 1 L 4 → L 4 + L 1 - 1 0 0 0 - 4 - 9 5 - 6 2 11 1 3 1 11 0 - 3

- 1 0 0 0 - 4 - 9 5 - 6 2 11 1 3 1 11 0 - 3 → L 3 → L 3 + 5 9 L 2 L 4 → L 4 - 2 3 L 2 - 1 0 0 0 - 4 - 9 0 0 2 11 64 / 9   - 13 / 3 1 11 55 / 9 - 31 / 3

- 1 0 0 0 - 4 - 9 0 0 2 11 64 / 9   - 13 / 3 1 11 55 / 9 - 31 / 3 → L 4 → L 4 + 39 64 L 3 - 1 0 0 0 - 4 - 9 0 0 2 11 64 / 9   0 1 11 55 / 9 - 423 / 64

Logo,

det ⁡ - 1 0 0 0 - 4 - 9 0 0 2 11 64 / 9   0 1 11 55 / 9 - 423 / 64 = - 1 × - 9 × 64 9 × - 423 9 = - 423

Passo 3

Pela regra de Cramer, para achar x 1 (a primeira variável) temos que substituir a matriz coluna - 32 14 11 - 4 na primeira coluna da matriz de coeficientes - 1 2 - 1 1 - 4 - 1 1 - 2 2 7 3 1 1 9 1 - 4 . Se quisermos achar x 2 (a segunda variável) , temos que substituir na segunda coluna e assim por diante.

Passo 4

Portanto, aplicando a regra de Cramer, temos:

x 1 = d e t - 32 14 11 - 4 - 4 - 1 1 - 2 2 7 3 1 1 9 1 - 4 det ⁡ - 1 2 - 1 1 - 4 - 1 1 - 2 2 7 3 1 1 9 1 - 4 = - 2115 - 423             ∴               x 1 = 5

x 2 = d e t - 1 2 - 1 1 - 32 14 11 - 4 2 7 3 1 1 9 1 - 4 det ⁡ - 1 2 - 1 1 - 4 - 1 1 - 2 2 7 3 1 1 9 1 - 4 = - 3384 - 423             ∴               x 2 = 8

x 3 = d e t - 1 2 - 1 1 - 4 - 1 1 - 2 - 32 14 11 - 4 1 9 1 - 4 det ⁡ - 1 2 - 1 1 - 4 - 1 1 - 2 2 7 3 1 1 9 1 - 4 = - 1269 - 423         ∴               x 3 = 3

x 4 = d e t - 1 2 - 1 1 - 4 - 1 1 - 2 2 7 3 1 - 32 14 11 - 4 det ⁡ - 1 2 - 1 1 - 4 - 1 1 - 2 2 7 3 1 1 9 1 - 4 = 423 - 423         ∴               x 4 = - 1

Resposta

  x 1 = 5 , x 2 = 8 , x 3 = 3 , x 4 = - 1

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Mostre que A ,n x n , é invertível se, e somente se, A t A é invertível.
Sejam A e P matrizesn x n , sendo P invertível. Mostre que det ⁡ P - 1 A P = d e t ⁡ ( A ) .
Se A e B são matrizes nxn tais que det ⁡ A =- 2 e d e t B = 3 , calcule det ⁡ A t B - 1 .
Seja A = a i j 3 × 3 tal que d e t ⁡ ( A ) = 3 . Calcule o determinante das matrizes a seguir:a) a 11 + a 1 2 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 2 1 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 3 1 - a 32 a 33
Calcule o determinante das matrizes a seguir:a) e r t t e r t r e r t ( 1 + r t ) e r t