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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.1 - Ex. 7

Existe uma única reflexão S do plano que transforma o ponto ( 5,0 ) no ponto ( 3,4 ) . Determine a equação para o eixo da reflexão S . Verifique que ele passa pela origem. Calcule a matriz (em relação à base canônica de R 2 ) da reflexão S .

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem?

Bom, a primeira coisa a fazer é descobrir qual a reta pela qual o ponto P = ( 5,0 ) é refletido no ponto Q = ( 3,4 ) . Temos o vetor

P Q → = Q - P = ( 3,4 ) - ( 5,0 ) = ( - 2,4 )

A reta para qual ocorre essa reflexão (ou seja, o eixo de reflexão) é perpendicular a P Q → vai ser do tipo

- 2 x + 4 y + c = 0

Passo 2

Agora temos que descobrir o ponto em que P Q → corta o eixo de reflexão. Esse ponto vai ser justamente o ponto médio da reta ligando P e Q :

M = Q + P 2 = ( 4,2 )

Como M é um ponto comum tanto de P Q → quanto do eixo de reflexão, então ele deve satisfazer a equação da reta que nós conseguimos no Passo 1. Assim,

- 2 x + 4 y + c = 0 ⇒ - 2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 + c = 0 ⇒ c = 0

Então, a equação do eixo de reflexão é

- 2 x + 4 y = 0

Passo 3

Agora temos que achar a matriz (em relação à base canônica de R 2 ) da reflexão S . Sabemos que quando essa matriz atua no ponto P , obtemos o ponto Q , ou seja, R r ( 5,0 ) = ( 3,4 ) . Quando ela atua no ponto médio, obtemos o próprio ponto médio porque ele está justamente no eixo de reflexão. Então, R r ( 4,2 ) = ( 4,2 ) . Para encontrar a matriz em relação a base canônica, precisamos de R r ( 1,0 ) e R r ( 0,1 ) , usando as propriedades de transformação linear:

R r ( 1,0 ) = 1 5 R r ( 5,0 ) = 1 5 ( 3,4 ) = ( 3 5 , 4 5 )

e

R r ( 0,1 ) = - 2 5 R r ( 5,0 ) + 1 2 R r ( 4,2 ) = - 2 5 ( 3,4 ) + 1 2 ( 4,2 ) = ( - 6 5 , - 8 5 ) + ( 2,1 ) = ( 4 5 , - 3 5 )

Então, a matriz da reflexão S é dada por

⎜   3 / 5                         4 / 5         ⎜

⎜   4 / 5               - 3 / 5     ⎜

Resposta

Veja a resolução acima.

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