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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 2

Quais dos subconjuntos abaixo de P 4 ( R ) são linearmente independentes:

  1. 1 , x - 1 , x 2 + 2 x + 1 ,   x 2

  2. 2 x ,   x 2 + 1 ,   x + 1 ,   x 2 - 1

  3. x x - 1 ,   x 3 ,   2 x 3 - x 2 ,   x

  4. { x 4 + x - 1 , x 3 - x + 1 ,   x 2 - 1 }

Passo 1

  1. 1 , x - 1 , x 2 + 2 x + 1 ,   x 2

    2. Se fizermos

    α 1 + α 2 x - 1 + α 3 x 2 + 2 x + 1 + α 4 x 2 = 0 + 0 x + 0 x 2

    ⟺ α 1 + α 2 x - α 2 + α 3 x 2 + 2 x α 3 + α 3 + α 4 x 2 = 0 + 0 x + 0 x 2

    ⇔ α 1 - α 2 + α 3 + x ( α 2 + 2 α 3 ) + x 2 α 3 + α 4 = 0 + 0 x + 0 x 2

    Agora vamos usar a informação que vai salvar a nossa vida!!!! É essa aqui: Dois polinômios são iguais se os coeficientes de cada termo são iguais! Assim, vamos ter

    α 1 - α 2 + α 3 = 0 α 2 + 2 α 3 = 0 α 3 + α 4 = 0

    Que é um sistema linear homogêneo com três equações e quatro incógnitas, ou seja, admite mais de uma solução além da trivial.

    Dessa forma, podemos afirmar que o conjunto { 1 , x - 1 , x 2 + 2 x + 1 ,   x 2 } é L.D.

    Show de bola?

    Passo 2

  2. 2 x ,   x 2 + 1 ,   x + 1 ,   x 2 - 1

Vamos fazer o mesmo procedimento da letra A para o conjunto { 2 x ,   x 2 + 1 ,   x + 1 ,   x 2 - 1 } . Beleza?

Se fizermos

2 x α 1 + α 2 ( x 2 + 1 ) + α 3 x + 1 + α 4 x 2 - 1 = 0 + 0 x + 0 x 2

⟺ 2 x α 1 + α 2 x 2 + α 2 + α 3 x + α 3 + α 4 x 2 - α 4 = 0 + 0 x + 0 x 2

⟺ α 2 + α 3 - α 4 + x 2 α 1 + α 3 + x 2 ( α 2 + α 4 ) = 0 + 0 x + 0 x 2

Dois polinômios são iguais se os coeficientes de cada termo são iguais! Assim, vamos ter

α 2 + α 3 - α 4 = 0 2 α 1 + α 3 = 0 α 2 + α 4 = 0

Que é um sistema linear homogêneo com três equações e quatro incógnitas, ou seja, admite mais de uma solução além da trivial.

Dessa forma, podemos afirmar que o conjunto { 2 x ,   x 2 + 1 ,   x + 1 ,   x 2 - 1 }   é L.D.

Passo 2

  1. x x - 1 ,   x 3 ,   2 x 3 - x 2 ,   x

Se fizermos

α 1 x 2 - x + α 2 x 3 + α 3 2 x 3 - x 2 + α 4 x = 0 + 0 x + 0 x 2 + 0 x 3

⟺ x α 4 - α 1 + x 2 α 1 - α 3 + x 3 α 2 + 2 α 3 = 0 + 0 x + 0 x 2 + 0 x 3

Daí, montamos o sistema

α 4 - α 1 = 0 α 1 - α 3 = 0 α 2 + 2 α 3 = 0

Que é um sistema linear homogêneo com três equações e quatro incógnitas, ou seja, admite mais de uma solução além da trivial.

Dessa forma, podemos afirmar que o conjunto { x x - 1 ,   x 3 ,   2 x 3 - x 2 ,   x }   é L.D.

Passo 3

  1. { x 4 + x - 1 , x 3 - x + 1 ,   x 2 - 1 }

Se fizermos

α 1 x 4 + x - 1 + α 2 x 3 - x + 1 + α 3 x 2 - 1 = 0 + 0 x + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4

⟺ α 2 - α 1 - α 3 + x α 1 - α 2 + x 2 α 3 + x 3 α 2 + x 4 α 1 = 0 + 0 x + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4

Daí, temos o sistema

α 2 - α 1 - α 3 = 0 α 1 - α 2 = 0 α 3 = 0 α 2 = 0 α 1 = 0

Onde a única solução que temos é a trivial α 1 = α 2 = α 3 = 0 . Logo o sistema é Linearmente Independente.

Resposta

  1. Não.
  2. Não.
  3. Não.
  4. Sim.
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Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Seja o espaço vetorial M ( 2 ,2 ) . Determinar o subespaço gerado pelos vetores: v 1 = - 1 21 0 v 2 =21 - 1 - 1
Classificar os seguintes subconjuntos do R 2 em L I ou L D . 1,3 { 1,3 ,2,6 } 2 , - 1 ,3,5 { 1 ,0 ,- 1,1 ,3,5 }
O conjunto A = t 3 ,2 t 2 - t + 3 ,t 3 - 3 t 2 + 4 - 1 É base de P 3 ? Justificar .
Determinar uma base do subespaço do I R 4 gerado pelos vetores v 1 = 1 , - 1,0 , 0 ,v 2 = - 2,2 , 2,1 ,v 3 = - 1,1 , 2,1 ,ev 4 = ( 0,0 , 4,2 ) .