37. Sejam os vetores v_1 = (1,1 , 1) , v_2 = (1,2 , 0) e v_3 = (1,3 , - 1) . Se (3 , - 1 , k) in [v_1 , v_2 , v_3] , qual o valor de k ?

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos precisar achar o subespaço gerado usando:

(x , y , z) = a v_1 + b v_2 + c v_3

E depois só colocar o vetor que pertence ao espaço gerado e achar o valor de k.

Passo 2

O nosso espaço vai ser da forma:

(x , y , z) = a (1,1 , 1) + b (1,2 , 0) + c (1,3 , - 1)

Que vai dar o sisteminha:

{[[a + b + c = x],[a + 2 b + 3 c = y],[a - c = z]])

Vamos resolver... Vamos escalonar aqui, mas pode resolver de qualquer forma...

- Fazendo (linha 2) = (linha 2)-(linha1) e fazendo (linha 3) = (linha 3)-(linha 1):

{[[a + b + c = x],[b + 2 c = y - x],[- b - 2 c = z - x]])

- Fazendo (linha 3) = (linha 3)+(linha 2)

{[[a + b + c = x],[b + 2 c = y - x],[0 = z + y - 2 x]])

Ohhh... repara na terceira linha... já temos uma expressão pro nosso subespaço gerado:

G (A) = { (x , y , z) in R^3 ; - 2 x + y + z = 0

E pra encontrar k só precisamos substituir o vetor (3 , - 1 , k) no subespaço:

- 2 x + y + z = 0

- 2 (3) + (- 1) + (k) = 0

- 6 - 1 + k = 0

k = 7

E acabamos aqui. Vamos pra próxima?

Resposta

k = 7

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