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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 13

Sejam a 1 , … , a n números reais distintos 2 a 2. Provar que o conjunto de funções e a 1 t , … , e a n t é LI.

Passo 1

Vamos lá! Temos que mostrar que o conjunto de funções e a 1 t , … , e a n t é LI. E agora? O que fazemos?

Vamos começar escrevendo a relação matemática que define um conjunto LI. Assim, temos:

x 1 e a 1 t + x 2 e a 2 t + … + x n e a n t = 0

Então, se queremos provar que o conjunto e a 1 t , … , e a n t é LI, queremos provar que os coeficientes x 1 , x 2 , … , x n são todos iguais a zero. Um ponto importante para lembrarmos é que o conjunto deve ser LI para TODOS os valores de t.

Passo 2

Continuando, a única informação que a questão nos deu foi que os números a 1 , … , a n são números reais distintos 2 a 2.

Isto faz com que os termos e a 1 t , … , e a n t sejam todos distintos entre si (a não ser no caso de t = 0 , o que é apenas um caso específico).

Este caso particular pode até nos ajudar em visualizar a solução. Como as funções exponencias são sempre distintas entre si, e também elas não são proporcionais, então, a única forma para que:

x 1 e a 1 t + x 2 e a 2 t + … + x n e a n t = 0

É que os coeficientes x 1 , … , x n são todos iguais a zero. Então, concluímos que e a 1 t , … , e a n t é um conjunto LI.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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