Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.

Rotação de um ângulo θ , seguida de uma reflexão na origem.

Passo 1

O problema pede para acharmos a matriz de transformação que representa a sequência de transformações dadas. Para isso, lembre-se que

A ∘ B = A ⋅ [ B ]

Assim, temos que achar a matriz de cada transformação e multilplicar todas elas, seguindo a ordem da última transformação para a primeira.

Neste caso, a primeira transformação é uma rotação de θ no sentido anti-horário. A matriz que representa isso é

[ B ] = cos ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ cos ⁡ θ

Passo 2

Já a segunda transformação é uma reflexão com relação à origem:

x , y → ( - x , - y )

Portanto,

A = - 1 0 0 - 1

Assim, a transformação resultante será dada por

T = A ⋅ B = - 1 0 0 - 1 ⋅ cos ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ cos ⁡ θ

Desta forma,

T = - cos ⁡ θ s e n   θ - s e n   θ - cos ⁡ θ

Resposta

T = - cos ⁡ θ s e n   θ - s e n   θ - cos ⁡ θ

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