Em um triângulo A B C , os ângulos B e C medem 75 ° cada. Sendo A ( 1 ,   1 ) e B ( - 1 ,   5 ) , determinar o vértice C .

Passo 1

O problema forneceu dois vértices A ( 1 ,   1 ) e B ( - 1 ,   5 ) de um triângulo isósceles com os ângulos B e C medindo 75 ° . Vemos então que o ângulo A mede 30 ° e que os lados A B e A C são iguais!

Se rotacionar o vetor A B → = - 1 ,   5 - 1 ,   1 = ( - 2 ,   4 ) em 30 ° , obtemos o vetor   A C → :

cos ⁡ 30 ° - s e n   30 ° s e n   30 ° cos ⁡ 30 ° ⋅ - 2 4 = 1 2 3 - 1 1 3 ⋅ - 2 4 = - 3 - 2 - 1 + 2 3

Assim,

C - A = ( - 3 - 2 , - 1 + 2 3 )

Logo,

C = 1 ,   1 + - 3 - 2 , - 1 + 2 3

Portanto,

C - 3 - 1 ,   2 3

Passo 2

Podemos obter outra solução para o problema efetuando as rotações no sentido contrário, com θ = - 3 0 ° :

cos ⁡ 30 ° s e n   30 ° - s e n   30 ° cos ⁡ 30 ° ⋅ - 2 4 = 1 2 3 1 - 1 3 ⋅ - 2 4 = - 3 + 2 1 + 2 3

Assim,

C = 1 ,   1 + - 3 + 2 ,   1 + 2 3

Portanto,

C - 3 + 3 ,   2 + 2 3

Resposta

C - 3 - 1 ,   2 3         o u       C - 3 + 3 ,   2 + 2 3

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