Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 16
No problema, é apresentado um subconjunto de . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.
Passo 1
Lembra aí das duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:
: Para quaisquer , ;
: Para quaisquer e , .
Traduzindo, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.
Um vetor desse subconjunto vai ser assim:
Então vamos pegar dois vetores genéricos pra testar as propriedades!
Passo 2
Vamos dar uma olhada na soma dos vetores:
Hum, que coisa, essa não serviu... a gente precisava que a primeira componente fosse igual ao quadrado da terceira, mas isso não acontece. Cuidado pra não se confundir e dizer que é igual a . Isso é um crime!!! O certo esse aqui de baixo!
Se uma das propriedades não serve, o subconjunto não é subespaço.
Passo 3
Pega um contraexemplo pra gente confirmar essa parada.
Os dois estão no subconjunto, mas...
A soma não está!
Resposta
Não é subespaço.