Escreva uma equação do plano perpendicular ao plano x+ y+ z- 1= 0 , paralelo à reta x 1 = y - 1 2 = z - 2 3 e passando por P= ( 1,5 , 3 ) .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 8

Escreva uma equação do plano perpendicular ao plano , paralelo à reta e passando por .

Passo 1

Pessoal, essa questão aqui não tem segredo. Só precisamos encontrar três vetores, considerar que eles são l.d., jogar no determinante, resolver e partir pro abraço.

O primeiro vetor vai ser o vetor normal a , porque o plano que queremos é perpendicular a esse plano. Logo,

pertence ao plano que temos que determinar.

O segundo vetor é o vetor diretor da reta, que está contida no plano. Vamos escrever as equações paramétricas da reta:

Com isso, vemos que

O terceiro vetor que precisamos é aquele que sai de um ponto e vai até :

Passo 2

Pronto, já descobrimos os três vetores. Agora, uma vez que eles tem que ser l.d., então o determinante dos três é nulo:

⇒ ( x - 1 ) ( 2 - 3 ) - ( y - 5 ) ( 1 - 3 ) + ( z - 3 ) ( 1 - 2 ) = 0

No último passo multiplicamos tudo por .

Resposta

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g) Qual a área do triângulo ABC?

Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A = (1, -1, 2) e B = (4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto médio de AB? Ele é perpendicular ao segmento AB?

Mostre que a distância entre duas retas não paralelas r 1 : x , y , z = ( x 1 + t a 1 , y 1 + t b 1 , z 1 + t c 1 ) e r 2 : x , y , z = ( x 2 + t a 2 , y 2 + t b 2 , z 2 + t c 2 ) é det ⁡ x 2 - x 1 y

Mostre que a distância entre dois planos paralelos π 1 : a x + b y + c z + d 1 e π 2 : a x + b y + c z + d 2 = 0 é d i s t π 1 , π 2 = d 2 - d 1 a 2 + b 2 + c 2

Mostre que a distância de um ponto P_0 = ( x_0 , y_0 , z_0 ) a um plano pi : a x + b y + c z + d = 0 éd i s t (P_0 , pi) = (|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2))