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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 18

Mostre que a distância entre dois planos paralelos π 1 : a x + b y + c z + d 1 e π 2 : a x + b y + c z + d 2 = 0 é

d i s t π 1 , π 2 = d 2 - d 1 a 2 + b 2 + c 2

Passo 1

Eaew, firme e forte? No ânimo para mais uma questãozinha?

Como temos aqui dois planos paralelos, temos que a distância entre os dois planos é dada pela distância entre um ponto de um dos planos, por exemplo, P 1 de π 1 , ao plano π 2   , de forma que podemos usar a seguinte proposição:

Sejam P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) um ponto de π 1 : a x + b y + c z + d 1 e π 2 : a x + b y + c z + d 2 = 0 . A distância de P 1 a π 2 é dada por

d i s t P 1 , π 2 = p r o j N   P 2 P 1 → = P 2 P 1 → ⋅ N N

Em que N = ( a , b , c ) e P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) é um ponto de π 2 (isto é, um ponto que satisfaz a equação de π 2 ).

Vamos tentar utilizar tudo isso para resolver a questão! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é identificar que temos um vetor normal N = ( a , b , c ) e sua norma é tal que:

N = a 2 + b 2 + c 2

Beleza, até aqui tudo bem! Agora, no entanto, precisamos de um ponto que pertença ao plano π 2 ! Saca só como podemos achar ele!

Passo 3

Se colocarmos y = z = 0 , temos que

a x = - d 2 → x = - d 2 a

Portanto, um ponto que pertence ao plano é tal que:

P 2 = ( - d 2 a , 0,0 )

Agora vamos escrever o vetor P 2 P 1 → !!

Passo 4

Temos que:

P 2 P 1 → = x 1 - x 2 , y 1 - y 2 , z 1 - z 2 = ( x 1 + d 2 a , y 1 , z 1 )

De forma, que:

P 2 P 1 → ⋅ N = x 1 + d 2 a a + y 1 b + z 1 c = a x 1 + b y 1 + c z 1 + d 2

Ou seja, temos que:

d i s t P 1 , π 2 = a x 1 + b y 1 + c z 1 + d 2 a 2 + b 2 + c 2

Ainda precisamos de mais uma coisinha! Quem é P 1 ??

Passo 5

Para achar ele, vamos fazer o mesmo que fizemos para P 2 . Colocando y = z = 0 , temos:

a x = - d 1 → x = - d 1 a

E o ponto é então da forma:

P 1 = ( - d 1 a , 0,0 )

E finalmente, temos que:

d i s t P 1 , π 2 = a ( - d 1 a ) + b ( 0 ) + c ( 0 ) + d 2 a 2 + b 2 + c 2 = d 2 - d 1 a 2 + b 2 + c 2

Como queríamos demonstrar! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva uma equação do plano perpendicular ao plano x+ y+ z- 1= 0 , paralelo à reta x 1 = y - 1 2 = z - 2 3 e passando por P= ( 1,5 , 3 ) .
Escreva uma equação do plano que passa por A = ( 0,2 , - 1 ) e B = ( 1,2 , 3 ) e que é perpendicular ao plano 2 x- y+z+ 3= 0 .
Escreva uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto P = ( 1,1 , 1 ) e é perpendicular aos planos x+ y- 2= 0 e 3 x+ z- 8= 0 .
Determine uma equação cartesiana do plano que passa pela reta r: x + 1 2 = y 3 = z - 1 e é perpendicular ao plano 3 x- 4 y - 2 z- 1= 0 .
c) Existem retas contidas no plano π , que são reversas à reta r e distam 2 desta?