Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 7d

Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos:

  1. O centro é O , os focos estão em O x , o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8.
  2. O centro é O , os focos estão em O y , o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.
  3. Os focos são 0,6 e 0 , - 6 , e o eixo maior mede 34.
  4. Os focos são 5,0 e - 5,0 e um dos vértices é - 13,0 .
  5. Os focos são - 1,0 e 1,0 e um dos vértices é 0 , 2 .
  6. As extremidades do eixo menor são 0,4 e 0 , - 4 , e a amplitude focal é 8/5.
  7. Os focos são 0,2 3 e 0 , - 2 3 e a amplitude focal é 2.
  8. O centro é a origem, 0 , - 40 é um foco, e o ponto 5 , 14 3 pertence a elipse.

Passo 1

A equação reduzida de uma elipse centrada na origem é da forma:

x 2 p 2 + y 2 q 2 = 1

O centro da elipse é no ponto médio entre os dois focos. Portanto,

C = c , 0 + - c , 0 2 = 0,0

Portanto, a elipse realmente está centrada na origem! Além disto, como os focos estão localizados no eixo O x , o denominador maior é p 2 . Podemos representar então, utilizando a definição de que a > b , a elipse da seguinte forma:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Bom, vamos utilizar as relações do vértice e da coordenada dos focos.

Como a elipse tem focos no eixo O x , os vértices em relação a esse eixo são ± a , 0 . Comparando com o vértice - 13,0 , percebemos que a = 13 . Já descobrimos o nosso primeiro parâmetro.

E em relação aos focos? Sabemos que eles têm coordenadas F = ± c , 0 = ± 5,0 . Só que quem é c ? Este parâmetro é obtido pela seguinte relação de a e b :

c 2 = a 2 - b 2

b 2 = a 2 - c 2 = 13 2 - 5 2

b 2 = 169 - 25 = 144

b = 12

Novamente, só assumimos o valor positivo, pois, os parâmetros geométricos são positivos por definição. Portanto, temos a seguinte equação da elipse:

x 2 169 + y 2 144 = 1

Resposta

x 2 169 + y 2 144 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dados um ponto F, uma reta ∆ que não contém F e um número positivo e, seja X o conjunto dos pontos P do plano tais que d P , F d ( P , ∆ ) = e Prove:a) Se 0e1 então X é uma elipse.
Determine a translação de eixos que elimina os termos em x e y na equação 9 x ²+4 y ²+18 x+24 y=26 ² ² e permite assim reconhecer a curva que ela representa.
Efetue uma rotação de - 60 ° nos eixos OX e OY e com isso consiga identificar a curva 31 x ²+21 y ²+10 √3 x y=144 . ² ²
Num sistema de coordenadas em que se t e mF ' 3 3 2, 3 2 eF= - 3 3 2, - 3 2 determine a equação da elipse que tem esses pontos como focos e cujo eixo menor mede 6 .
Determine os eixos da elipse que é a imagem da circunferência unitária por cada uma das transformações lineares abaixo: b) T( x ,y )=( x+2 y ,3 x+2 y )