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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 7h

Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos:

  1. O centro é O , os focos estão em O x , o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8.
  2. O centro é O , os focos estão em O y , o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.
  3. Os focos são 0,6 e 0 , - 6 , e o eixo maior mede 34.
  4. Os focos são 5,0 e - 5,0 e um dos vértices é - 13,0 .
  5. Os focos são - 1,0 e 1,0 e um dos vértices é 0 , 2 .
  6. As extremidades do eixo menor são 0,4 e 0 , - 4 , e a amplitude focal é 8/5.
  7. Os focos são 0,2 3 e 0 , - 2 3 e a amplitude focal é 2.
  8. O centro é a origem, 0 , - 40 é um foco, e o ponto 5 , 14 3 pertence a elipse.

Passo 1

A equação reduzida de uma elipse centrada na origem é da forma:

x 2 p 2 + y 2 q 2 = 1

Além disto, como os focos estão localizados no eixo O y , o denominador maior é q 2 . Podemos representar então, utilizando a definição de que a > b , a elipse da seguinte forma:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

Bom, vamos utilizar as relações do foco e do ponto pertencente a elipse.

Sabemos que os focos têm coordenadas F = 0 , ± c = 0 , ± 40 . Só que quem é c ? Este parâmetro é obtido pela seguinte relação de a e b :

c 2 = a 2 - b 2

a 2 - b 2 = 40

a 2 = 40 + b 2

Temos assim a nossa primeira relação entre a e b . E qual seria a segunda? Aí, temos que partir para utilizar o ponto que pertence a elipse. Por causa disto, ele também satisfaz a equação da elipse. Portanto,

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

5 2 b 2 + 14 3 2 a 2 = 1

5 b 2 + 196 9 a 2 = 1

45 a 2 + 196 b 2 9 a 2 b 2 = 1

45 a 2 + 196 b 2 = 9 a 2 b 2

Vamos agora substituir a relação a 2 = 40 + b 2 na equação acima. Portanto,

45 ⋅ 40 + b 2 + 196 b 2 = 9 ⋅ 40 + b 2 ⋅ b 2

1800 + 45 b 2 + 196 b 2 = 360 b 2 + 9 b 4

9 b 4 + 119 b 2 - 1800 = 0

Temos uma equação biquadrática. Podemos resolver da mesma forma que uma equação do segundo grau. Basta considerar x = b 2 . Portanto,

9 x 2 + 119 x - 1800 = 0

Resolvendo esta equação, obtemos:

x = - 119 ± 281 18

Portanto, x = b 2 = 9 ou x = b 2 = - 200 / 9 . Como x > 0 , pois b 2 é sempre positivo, a única solução possível será x = b 2 = 9 . Consequentemente, b = 3 .

Agora, basta substituir o valor de b em qualquer outra relação para descobrirmos o valor de a 2 , e depois de a . Portanto,

a 2 = 40 + b 2

a 2 = 40 + 9 = 49

a = 7

E, desta forma, temos a seguinte equação da elipse:

x 2 9 + y 2 49 = 1

Resposta

x 2 9 + y 2 49 = 1

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