As retas

⎧   x   =   1   + 3 α

b   ⎢ y   = 1   - α

                ⎩ z   = - 3   + 5 α

⎧ x   = 1

  c   ⎢ y   = 1   -   2 β

                  ⎩   z   =   - 3   +   3 β

passam pelo vértice A do triângulo A B C e, respectivamente, pelos vértices B e C . Determine as coordenadas de A , B e C , sabendo que B C →   =   ( - 3 , - 3,1 ) .

Passo 1

Nessa questão é muito importante notar como as duas retas passam pelo vértice A do triângulo A B C e, respectivamente, pelos vértices B e C . Então, seus vetores diretores são paralelos a A B → e A C → . Assim

A B → = α v → b = α ( 3 , - 1,5 )

A C → = β v → c = β ( 0 , - 2,3 )

Por outro lado, temos

B C → = B A → + A C → = - A B → + A C → = - α ( 3 , - 1,5 ) + β ( 0 , - 2,3 ) = ( - 3 α , - 2 β + α , 3 β - 5 α )

Como B C → = ( - 3 , - 3,1 ) , então

( β - 3 α , - 2 β + α , 3 β - 5 α ) = ( - 3 , - 3,1 )

⇒ - 3 α = - 3 ⇒ α = 1

- 2 β + α = - 3 ⇒ 2 β = α + 3 = 4 ⇒ β = 2

3 β - 5 α = 1

Assim, ficamos com

α = 1 ,   β = 2

Passo 2

Com as informações que nós conseguirmos no Passo 1, podemos ver que

A B → = α ( 3 , - 1,5 ) = ( 3 , - 1,5 )

A C → = β ( 1 , - 2,3 ) = 2 ( 0 , - 2,3 )

Como as duas retas passam pelo vértice A, nesse ponto as coordenadas das duas retas são iguais e temos

  x   =   1   + 3 α = 1 ⇒ α = 0

y   = 1   - α = 1   -   2 β ⇒ β = 0

z = - 3   + 5 α = - 3   +   3 β

Na primeira equação obtivemos α = 0 , na segunda β = 0 e a terceira é satisfeita para esses dois valores. Assim, vamos substituir α = 0 na reta b Para obter o ponto A :

A = (   1   + 3 α , 1   - α , - 3   + 5 α ) α = 0 = ( 1,1 , - 3 )

Agora ficou fácil de obter as coordenadas dos outros vértices do triângulo. Basta a gente notar que

A B → = B - A

⇒ B = A B → + A = ( 3 , - 1,5 ) + ( 1,1 , - 3 ) = ( 4,0 , 2 )

A C → = C - A

⇒ C = A C → + A = 2 ( 0 , - 2,3 ) + ( 1,1 , - 3 ) = ( 1 , - 3,3 )

Resposta

A = ( 1,1 , - 3 )

B = ( 4,0 , 2 )

C = ( 1 , - 3,3 )

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