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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 22

As retas

⎧   x   =   1   + 3 α

b   ⎢ y   = 1   - α

                ⎩ z   = - 3   + 5 α

⎧ x   = 1

  c   ⎢ y   = 1   -   2 β

                  ⎩   z   =   - 3   +   3 β

passam pelo vértice A do triângulo A B C e, respectivamente, pelos vértices B e C . Determine as coordenadas de A , B e C , sabendo que B C →   =   ( - 3 , - 3,1 ) .

Passo 1

Nessa questão é muito importante notar como as duas retas passam pelo vértice A do triângulo A B C e, respectivamente, pelos vértices B e C . Então, seus vetores diretores são paralelos a A B → e A C → . Assim

A B → = α v → b = α ( 3 , - 1,5 )

A C → = β v → c = β ( 0 , - 2,3 )

Por outro lado, temos

B C → = B A → + A C → = - A B → + A C → = - α ( 3 , - 1,5 ) + β ( 0 , - 2,3 ) = ( - 3 α , - 2 β + α , 3 β - 5 α )

Como B C → = ( - 3 , - 3,1 ) , então

( β - 3 α , - 2 β + α , 3 β - 5 α ) = ( - 3 , - 3,1 )

⇒ - 3 α = - 3 ⇒ α = 1

- 2 β + α = - 3 ⇒ 2 β = α + 3 = 4 ⇒ β = 2

3 β - 5 α = 1

Assim, ficamos com

α = 1 ,   β = 2

Passo 2

Com as informações que nós conseguirmos no Passo 1, podemos ver que

A B → = α ( 3 , - 1,5 ) = ( 3 , - 1,5 )

A C → = β ( 1 , - 2,3 ) = 2 ( 0 , - 2,3 )

Como as duas retas passam pelo vértice A, nesse ponto as coordenadas das duas retas são iguais e temos

  x   =   1   + 3 α = 1 ⇒ α = 0

y   = 1   - α = 1   -   2 β ⇒ β = 0

z = - 3   + 5 α = - 3   +   3 β

Na primeira equação obtivemos α = 0 , na segunda β = 0 e a terceira é satisfeita para esses dois valores. Assim, vamos substituir α = 0 na reta b Para obter o ponto A :

A = (   1   + 3 α , 1   - α , - 3   + 5 α ) α = 0 = ( 1,1 , - 3 )

Agora ficou fácil de obter as coordenadas dos outros vértices do triângulo. Basta a gente notar que

A B → = B - A

⇒ B = A B → + A = ( 3 , - 1,5 ) + ( 1,1 , - 3 ) = ( 4,0 , 2 )

A C → = C - A

⇒ C = A C → + A = 2 ( 0 , - 2,3 ) + ( 1,1 , - 3 ) = ( 1 , - 3,3 )

Resposta

A = ( 1,1 , - 3 )

B = ( 4,0 , 2 )

C = ( 1 , - 3,3 )

Exercícios de Livros Relacionados

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Sejam r e s as retas reversas passando por A = (0, 1, 0) e B = (1, 1, 0)e por C = (-3, 1, -4) e D = (-1, 2, -7),respectivamente. Obtenha uma equação da reta concorrente com r e s e paralela ao vetor V
Achar as equações da reta que intercepta as retas r 1 e r 2 e é perpendicular a ambas. r 1 :x = 1 + t y = 2 + 3 t z = 4 t , para t pertencente aos reais. r 2 : x + 1 =y - 1 2 = z + 2 3
Achar as equações da reta que intercepta as retas r 1 e r 2 e é perpendicular a ambas.b) r 1 :x = - 1 + t y = 2 + 3 t z = 4 t , para t pertencente aos reais. r 2 : x =y - 4 2 = z - 3 3
Escreva equações da reta de vetor diretor ( 1,1 , 0 ) e concorrente com as retas x = 2 y = 3 z e ( x , y , z )=( 4,1 - λ ,λ ) .