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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 14

Escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:

A 2,1 , 3 ,     B - 3 , - 1,3   e     C ( 4,2 , 3 )

Passo 1

E aí tudo joia?

Olha só, a equação geral do plano é dessa forma aqui:

a x + b y + c z + d = 0

Onde ( a , b , c ) é um vetor normal ao plano, beleza?

Com os pontos que a gente tem, vamos calcular vetores diretores (paralelos) ao plano primeiro...

Passo 2

Calculando os vetores, temos:

A B → = ( - 5 , - 2,0 )

A C → = ( 2,1 , 0 )

(é sempre bom a gente tomar o mesmo ponto como “partida”, no caso tomei o A)

Esses dois vetores são paralelos ao plano procurado. Pra encontrarmos um vetor normal, vamos fazer o produto vetorial entre eles! Bora lá!

Passo 3

Montando o produto vetorial, temos:

d e t i → j → k → - 5 - 2 0 2 1 0 =   i → - 2 0 1 0 - j →   - 5 0 2 0 + k →   - 5 - 2 2 1

= i →   0 - 0 -   j →   0 - 0 +   k → ( - 5 + 4 )

= 0 i → - 0 j → - 1 k →

Temos um vetor normal então que é:

( 0,0 , - 1 )

Podemos escrever nosso plano então como:

- z + d = 0

Passo 4

Agora pra a gente achar esse d , é só substituir um dos pontos que nos deram! Vou pegar o ponto A 2,1 , 3 :

- 3 + d = 0

d = 3

Nosso plano então é:

- z + 3 = 0

z = 3

Prontinho! Acabamos por aqui😉

Resposta

z = 3

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