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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 13

Escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:

A 0,0 , 0 ,     B 0,3 , 0   e     C ( 0 , 2,5 )

Passo 1

E aí tudo joia?

Olha só, a equação geral do plano é dessa forma aqui:

a x + b y + c z + d = 0

Onde ( a , b , c ) é um vetor normal ao plano, beleza?

Com os pontos que a gente tem, vamos calcular vetores diretores (paralelos) ao plano primeiro...

Passo 2

Calculando os vetores, temos:

A B → = ( 0,3 , 0 )

A C → = ( 0,2 , 5 )

(é sempre bom a gente tomar o mesmo ponto como “partida”, no caso tomei o A)

Esses dois vetores são paralelos ao plano procurado. Pra encontrarmos um vetor normal, vamos fazer o produto vetorial entre eles! Bora lá!

Passo 3

Montando o produto vetorial, temos:

d e t i → j → k → 0 3 0 0 2 5 =   i → 3 0 2 5 - j →   0 0 0 5 + k →   0 3 0 2

= i →   15 - 0 -   j →   0 - 0 +   k → ( 0 - 0 )

= 15 i → - 0 j → + 0 k →

Temos um vetor normal então que é:

( 15,0 , 0 )

Podemos escrever nosso plano então como:

15 x + 0 y + 0 z + d = 0

15 x + d = 0

Passo 4

Agora pra a gente achar esse d , é só substituir um dos pontos que nos deram! Vou pegar o ponto A 0,0 , 0 :

  15 0 + d = 0

d = 0

Nosso plano então é:

15 x = 0

x = 0

Prontinho! Acabamos por aqui😉

Resposta

x = 0

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Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3
Determine a equação do plano que intercepta o eixo x em a , o eixo y em b e o eixo z em c .
( a ) Determine o ponto dado pela intersecção das retas: r 1 → = 1,1 , 0 + t 1 , - 1,2 r 2 → = 2,0 , 2 + s 1,1 , 0 ( b ) Determine a equação do plano que contém essas retas.
Determine a equação do plano.O plano que passa pelo ponto ( - 1 , 1 2 , 3 ) e cujo vetor normal é i + 4 j + k .
Determine a equação do plano.O plano que passa pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e é perpendicular a reta x = 3 t ; y = 2 - t ; z = 3 + 4 t .