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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 61

Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes?

P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3

P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6

P 3 :   - 6 x + 3 y - 9 z = 5

P 4 : z = 2 x - y - 3

Passo 1

Olá, tudo bem? Para resolver essa questão vale lembrar que planos paralelos são aqueles que o produto vetorial entre os planos diretores dá zero.

Antes vou escrever a equação do plano P 4 na forma geral:

2 x - y - z = 3

Agora podemos vamos ver quem são os vetores diretores de cada plano:

  • Plano P 1 : v → 1 = ( 4 , - 2,6 )
  • Plano P 2 : v → 2 = ( 4 , - 2 , - 2 )
  • Plano P 3 : v → 3 = ( - 6 , + 3 , - 9 )
  • Plano P 4 : v → 4 = ( 2 , - 1 , - 1 )

Passo 2

Agora precisamos calcular o produto vetorial entre cada dupla.

  • Entre P 1 e P 2 :

    • v 1 → × v 2 → = 4 , - 2,6 × 4 , - 2 , - 2 = i → j → k → 4 - 2 6 4 - 2 - 2

    = i → 4 + 12 + j → 2 4 + 8 + k → - 8 + 8 ≠ 0

    Esses dois vetores não são paralelos entre si.

  • Entre P 1 e P 3 :

    • v 1 → × v 3 → = 4 , - 2,6 × - 6 , + 3 , - 9 = i → j → k → 4 - 2 6 - 6 + 3 - 9

    = i → 18 - 18 + j → - 36 + 36 + k → + 12 - 12 = 0

    Esses dois vetores são paralelos entre si, logo os planos P 1 e P 3 são paralelos entre si.

  • Entre P 2 e P 3 :

    • v 2 → × v 3 → = 4 , - 2 , - 2 × - 6 , + 3 , - 9 = i → j → k → 4 - 2 - 2 - 6 + 3 - 9

    = i → 18 + 6 + j → 12 + 36 + k → + 12 - 12 ≠ 0

    Esses dois vetores não são paralelos entre si.

  • Entre P 3 e P 4 :

    • v 3 → × v 4 → = - 6 , + 3 , - 9 × 2 , - 1 , - 1 = i → j → k → - 6 3 - 9 4 - 1 - 1

    = i → - 3 - 9 + j → - 36 - 6 + k → 6 - 12 ≠ 0

    Esses dois vetores não são paralelos entre si.

  • Entre P 2 e P 4 :

v 2 → × v 3 → = 4 , - 2 , - 2 × - 2 , - 1 , - 1 = i → j → k → 4 - 2 - 2 2 - 1 - 1

= i → 2 - 2 + j → - 4 + 4 + k → - 4 + 4 = 0

Esses dois vetores são paralelos entre si, então os planos também.

Então chegamos à conclusão de que a dupla de planos P 1 , P 3 e P 2 , P 4 são paralelos.

Passo 3

Ta certo, já determinamos quais planos são paralelos. Mas dentre esses, existem planos coincidentes? Sim! Olha só, dá pra ver das equações dos planos P 2 e P 3 que eles são os mesmos, a não ser por um fator de 2 , logo eles são coincidentes.

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

p l a n o s   P 1 ,   P 3   e   P 2 , P 4   s ã o   p a r a l e l o s

P 2 e   P 4 s ã o   c o i n c i d e n t e s

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