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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 40.Problemas - Ex. 5

No espaço quadrimensional R 4 , defina o produto interno < u , v > , dos vetores u = ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) e v = ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) . Defina vetores ortogonais. Imitando o caso de R 3 , defina o produto vetorial u   x   v   x   w de modo que seja ortogonal a cada um dos vetores u , v   e   w . Embora não exista em R 4 a noção de produto vetorial de dois vetores, enuncie e prove propriedades de u   x   v   x   w análogas `aquelas provadas no texto para o produto vetorial de dois vetores de R 2 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Nesse exercício o espaço quadrimensional R 4 , defina o produto interno < u , v > , dos vetores u = ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) e v = ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) . Defina vetores ortogonais. Imitando o caso de R 3 , defina o produto vetorial u   x   v   x   w de modo que seja ortogonal a cada um dos vetores u , v   e   w . Embora não exista em R 4 a noção de produto vetorial de dois vetores, enuncie e prove propriedades de u   x   v   x   w análogas `aquelas provadas no texto para o produto vetorial de dois vetores de R 2 .

Vem comigo que essa questão e bem simples

Passo 2

Sabendo que o produto interno < u , v > ,

u = ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 )

v = ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 )

Para definirmos os vetores ortogonais de R 3   temos,

a 1 x 1 + b 1 y + c 1 z + d 1 w = 0

a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 w = 0

Sendo u   e   v   linearmente independente temos,

a 1 x 1 + b 1 y + c 1 z = - d 1 w

a 2 x + b 2 y + c 2 z = - d 2 w

Ficando,

x = b 1 c 2 - b 2 c 1 a 1 b 2 - a 2 c 1 z                                         y = a 2 c 1 - a 1 c 2 a 1 b 2 - a 2 b 1 z                         z = c 2 a 2 - c 1 a 1 a 1 b 2 - a 2 b 1 z

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

x = b 1 c 2 - b 2 c 1 a 1 b 2 - a 2 c 1 z                                         y = a 2 c 1 - a 1 c 2 a 1 b 2 - a 2 b 1 z                         z = c 2 a 2 - c 1 a 1 a 1 b 2 - a 2 b 1 z

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