No espaço vetorial P 3 R sejam dados os vetores f t = t 3 - 1 , g t = t 2 + t - 1eh t = t + 2 .a) Calcular 2 f t + 3 g t - 4 h ( t ) b) Existe k ∈ R de maneira que f t + k g t = h ( t ) ?c) Existem k 1 , k 2 ∈ R tais que f t = k 1 g t + k 2 h ( t ) ?

a) 2 t 3 + 3 t 2 - t - 13 b) Não.c) Não.

Enunciado

Vamos para a nossa letra a)

Temos que calcular

O enunciado já nos diz que

Substituindo na nossa expressão, temos

Que será igual a

Agora a letra b)

Temos a seguinte informação

Ou seja, queremos um k que torne essa expressão verdadeira. Vamos começar substituindo as nossas funções. Fica assim, ó

Fazendo a distributiva(chuveirinho), teremos

No entanto, para que isso seja verdade precisaríamos que o ao lado do fosse igual a zero e o que está ao lado do igual a 1(um).

Opa! Temos uma contradição pois não tem como

Ou seja, não existe um que faz essa equação ser válida.

Por último agora a letra c)

Temos a seguinte informação

Ou seja, queremos um que torne essa expressão verdadeira. Vamos começar substituindo as nossas funções. Fica assim, ó

Fazendo a distributiva, temos

É impossível isso ser verdade, uma vez que no lado esquerdo da igualdade temos um e no lado direito não temos.

Ou seja, não existe um que faz essa equação ser válida

b) Não.

c) Não.