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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.3 - Ex. 3

No espaço vetorial P 3 R sejam dados os vetores f t = t 3 - 1 ,     g t = t 2 + t - 1   e   h t = t + 2 .

a) Calcular 2 f t + 3 g t - 4 h ( t )

b) Existe k ∈ R de maneira que f t + k g t = h ( t ) ?

c) Existem k 1 , k 2 ∈ R tais que f t = k 1 g t + k 2 h ( t ) ?

Passo 1

Vamos para a nossa letra a)

Temos que calcular

2 f t + 3 g t - 4 h ( t )

O enunciado já nos diz que

f t = t 3 - 1 ,     g t = t 2 + t - 1   e   h t = t + 2

Substituindo na nossa expressão, temos

2 t 3 - 1 + 3 t 2 + t - 1 - 4 ( t + 2 )

2 t 3 - 2 + 3 t 2 + 3 t - 3 - 4 t - 8

Que será igual a

2 t 3 + 3 t 2 - t - 13

Passo 2

Agora a letra b)

Temos a seguinte informação

f t + k g t = h t

Ou seja, queremos um k que torne essa expressão verdadeira. Vamos começar substituindo as nossas funções. Fica assim, ó

t 3 - 1 + k t 2 + t - 1 = t + 2

Fazendo a distributiva(chuveirinho), teremos

t 3 - 1 + k t 2 + k t - k = t + 2

No entanto, para que isso seja verdade precisaríamos que o k ao lado do t 2 fosse igual a zero e o que está ao lado do t igual a 1(um).

Opa! Temos uma contradição pois não tem como

k = 1   e   k = 0

Ou seja, não existe um k que faz essa equação ser válida.

Passo 3

Por último agora a letra c)

Temos a seguinte informação

f t = k 1 g t + k 2 h ( t )

Ou seja, queremos um k 1   e   k 2 que torne essa expressão verdadeira. Vamos começar substituindo as nossas funções. Fica assim, ó

t 3 - 1 = k 1 t 2 + t - 1 + k 2 ( t + 2 )

Fazendo a distributiva, temos

t 3 - 1 = k 1 t 2 + k 1 t - k 1 + k 2 t + 2 k 2

É impossível isso ser verdade, uma vez que no lado esquerdo da igualdade temos um t 3 e no lado direito não temos.

Ou seja, não existe um k 1   e   k 2 que faz essa equação ser válida

Resposta

a) 2 t 3 + 3 t 2 - t - 13

b) Não.

c) Não.

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