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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 1

Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são sub-espaços do R 3 ?

  1. W   =   x ,   y ,   z ∈   R 3     x = 0 }
  2. W   =   x ,   y ,   z ∈   R 3     x = Z }
  3. W   =   x ,   y ,   z ∈   R 3     y   é   i r r a c i o n a l }
  4. W   =   x ,   y ,   z ∈   R 3     x - 3 z = 0 }
  5. W   =   x ,   y ,   z ∈   R 3     a x + b y + c z = 0 ,     c o m   a ,   b   ,   c   ∈ R }

Passo 1

Vamos a nossa letra a)

Precisamos de três condições para que seja um subespaço

  1. 0   ∈   W
  2. W é fechado pra soma
  3. W é fechado para a multiplicação por um escalar

A primeira pra esse nosso caso é de boa, o vetor ( 0,0 , 0 ) está incluído no que precisamos aqui.

Agora é preciso ver se ele é fechado para soma

Se somarmos dois vetores   v 1   e   v 2 , onde

v   1 = 0 , y 1 , z 1   e   v 2 = 0 , y 2 , z 2

Teremos como resultado

v   1 + v 2 = 0 , y 1 , z 1 + 0 , y 2 , z 2 = ( 0 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

Que com certeza estará no dentro do conjunto que precisamos. Uma vez que teremos x = 0 .

O mesmo vai acontecer para a nossa multiplicação, saca só

λ v = λ 0 , y ,   z = ( 0 , λ y , λ z )

Portanto, esse é um subespaço.

Passo 2

Letra b) agora

Esse não tem como ser, pelo simples fato de quando tivermos a multiplicação por um escalar, não necessariamente teremos o nosso x ∈ R . Quando multiplicamos os números reais por um numero inteiro, temos como resultado um número real.

Portanto, não é um subespaço.

Passo 3

Show, já estamos ficando craques. Letra c) agora

Como y é um número irracional, o ( 0,0 , 0 ) não está incluso. Logo não é um subespaço.

Passo 4

Vamos para a d)

Temos que x - 3 z = 0 .

Ou seja, teremos: x = 3 z . Sendo assim, teremos um vetor do tipo

3 z , y ,   z

Dessa forma, o vetor   ( 0,0 , 0 ) está incluso no que precisamos.

Agora é preciso ver se ele é fechado para soma

Se somarmos dois vetores   v 1   e   v 2 , onde

v   1 = 3 z 1 , y 1 , z 1   e   v 2 = 3 z 2 , y 2 , z 2

Teremos

v   1 + v 2 = 3 z 1 , y 1 , z 1 + 3 z 2 , y 2 , z 2 = ( 3 ( z 1 + z 2 ) , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

Ou seja, ele é fechado para a soma.

O mesmo acontece para a multiplicação, olha...

λ v = λ 3 z , y ,   z = ( λ 3 z , λ y , λ z )

Portanto, esse é um subespaço.

Passo 5

Último agora, prometo

e)

Temos que

a x + b y + c z = 0

Ou seja

z = - a x - b y c

Dessa forma, podemos escrever a equação desse plano como

x ,   y ,   - a x - b y c O ( 0,0 , 0 ) com certeza vai aparecer aí, basta x = y = 0

Agora é preciso ver se ele é fechado para soma

Se somarmos dois vetores   v 1   e   v 2 , onde

v   1 = x 1 , y 1 , - a x 1 - b y 1 c   e   v 2 = x 2 , y 2 , - a x 2 - b y 2 c

Teremos

v   1 + v 2 = x 1 , y 1 , - a x 1 - b y 1 c + x 2 , y 2 , - a x 2 - b y 2 c

v   1 + v 2 = x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 , - a x 1 + x 2 - b ( y 1 + y 2 ) c

Então realmente estará fechado na soma.

O mesmo acontece para a multiplicação, espia só

λ v = λ x ,   y ,   - a x - b y c = λ x , λ   y ,   λ - a x - b y c

Portanto, esse é um subespaço.

Resposta

a) Sim

b) Não

c) Não

d) Sim

e) Sim

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