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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 2

Sejam a < x < b respectivamente as coordenadas dos pontos A, X e B do eixo E. Diz-se que o ponto X divide o segmento AB em média e extrema razão (divisão áurea) quando se tem:

d A , X d ( A , B ) = d X , B d ( A , X )

Supondo que x divide o segmento AB em média e extrema razão, calcule x em função de a e b.

Passo 1

Falaaa.... blz?? Para começar essa questão vamos lembrar do conceito de distância usando coordenadas.

d A , B = b - a   ,     s e   b > a

Onde b é a coordenada do ponto B e a é a coordenada do ponto A

Passo 2

Com isso, vamos substituir cada distancia como a diferença entre as coordenadas.

d A , X d ( A , B ) = d X , B d ( A , X )

x - a b - a = b - x x - a

x - a 2 = b - x b - a

x 2 + a 2 - 2 a x = b 2 - b a - x b + a x

x 2 + a 2 - 2 a x - b 2 + b a + x b - a x = 0

x 2 + x - 2 a + b - a + a 2 - b 2 + b a = 0

Passo 3

Agora vamos usar bhaskara para achar o valor de x.

x = 3 a - b ±   3 a - b 2 - 4 ( a 2 - b 2 + b a ) 2

x = 3 a - b   ±   9 a 2 + b 2 - 6 a b - 4 a 2 + 4 b 2 - 4 b a 2

x =   3 a - b   ±   5 a 2 + 5 b 2 - 10 a b 2

x = 3 a - b   ±   5 ( a 2 + b 2 - 2 a b ) 2

x =   3 a - b   ±   5   ( a - b 2 ) 2

x = 3 a - b   ±   5 ( b - a ) 2

x = 3 a - b + b 5 - a 5 2   e   x = 3 a - b - b 5 + a 5 2    

Vamos analisar o segundo caso:

x = 3 a - b - b 5 + a 5 2 = 5 a - b + 3 a - b 2

x = 5 ( a - b ) 2 + a - b 2 + a = a - b ( 5 + 1 ) 2 + a

Nesse caso, são dois valores negativos somados com a (menor do que a), porém a < x < b , então vale apenas o outro caso

Resposta

x = 3 a - b + b 5 - a 5 2

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