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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 15

  1. Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto 1 , - 5,6 e é paralela ao vetor ( - 1,2 , - 3 ) .
  2. Determine os pontos nos quais a reta da parte (a) intercepta os planos coordenados.

Passo 1

Opa, tudo bom?

As equações simétricas da reta são dadas por

x - x 0 a = y - y 0 b = z - z 0 c

Onde x 0 ,   y 0 ,   z 0 é um ponto por onde a reta passa e a , b , c é o vetor paralelo a essa reta! Sorte nossa que o enunciado já nos deu todos esses dados :D

x - 1 - 1 = y - - 5 2 = z - 6 - 3

x - 1 - 1 = y + 5 2 = z - 6 - 3

Show!

Passo 2

Temos três planos coordenados: x y , y z e z x . Vamos olhar um de cada vez, beleza?

Essa reta intercepta o plano x y quando z = 0 , então

x - 1 - 1 = y + 5 2 = 0 - 6 - 3 = 2

A coordenada x vai ser dada por

x - 1 - 1 = 2 → x - 1 = - 2 → x = - 1

E a coordenada y é dada por

y + 5 2 = 2 → y + 5 = 4 → y = - 1

Então o ponto onde essa reta encosta no plano x y é - 1 , - 1,0 .

Passo 3

Agora vamos olhar o plano y z . Nesse caso temos x = 0

0 - 1 - 1 = 1 = y + 5 2 = z - 6 - 3

A coordenada y é dada por

y + 5 2 = 1 → y + 5 = 2 → y = - 3

E a coordenada z

z - 6 - 3 = 1 → z - 6 = - 3 → z = 3

Assim o ponto em que a reta intercepta o plano y z é 0 ,   - 3 ,   3

Passo 4

Agora vamos olhar o plano x z , fazendo y = 0

x - 1 - 1 = 0 + 5 2 = z - 6 - 3

A coordenada x é dada por

x - 1 - 1 = 5 2 → x - 1 = - 5 2 → x = - 3 2

A coordenada z é dada por

z - 6 - 3 = 5 2 → z - 6 = - 15 2 → z = - 3 2

Então o ponto em que a reta intercepeta o plano x z é - 3 2 , 0 ,   - 3 2

Show! Fechamos o exercício! :D

Resposta

a)

x - 1 - 1 = y + 5 2 = z - 6 - 3

b)

Intercepta o plano x y em - 1 ,   - 1 ,   0

Intercepta o plano y z em 0 ,   - 1 ,   3

Intercepta o plano x z em - 3 2 , 0 ,   - 3 2

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