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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 23

Obtenha uma equação geral do plano que contém a interseção dos planos de equações gerais x - y + z + 1 = 0 e x + y - z - 1 = 0 e é paralelo à reta r : X = 0 ,   1 ,   1 + λ ( 1 ,   2 ,   2 ) .

Passo 1

A intersecção dos planos vai ser uma reta s certo? Então o plano que queremos, vai ter um vetor diretor igual ao da reta s e o outro igual ao da reta r .

Aí é só fazermos o produto vetorial desses vetores para encontrarmos o vetor normal e assim termos a equação geral :D

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a reta s :

s :   x - y + z + 1 = 0 x + y - z - 1 = 0

Somando as duas equações:

2 x = 0

x = 0

Substituindo na primeira equação:

- y + z + 1 = 0

y = z + 1

Então, a equação da reta é nesse formato:

x ,   y ,   z = ( 0 ,   z + 1 ,   z )

x ,   y ,   z = 0 ,   1 ,   0 + z ( 0 ,   1 ,   1 )

Transformando z no parâmetro λ :

s :   x ,   y ,   z = 0 ,   1 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   1 )

Passo 3

Então sabemos que os vetores diretores do nosso plano são ( 0 ,   1 ,   1 ) de s e ( 1 ,   2 ,   2 ) de r hihi

Vamos fazer o produto vetorial desses 2 vetores para encontrarmos o vetor normal:

0 ,   1 ,   1 ∧ 1 ,   2 ,   2 = ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Então a equação do plano é nesse formato:

0 x + 1 y - 1 z + d = 0

Para encontrarmos o coeficiente d , vamos substituir o ponto ( 0 ,   1 ,   0 ) da reta s , pois ela está contida no plano (não podemos substituir o ponto da reta r pois ela não está contida, é apenas paralela):

0 . 0 + 1 . 1 - 1 . 0 + d = 0

d = - 1

Então a equação do plano que estamos procurando é:

y - z - 1 = 0

Resposta

y - z - 1 = 0

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b) Ache equações da reta que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e intercepta a reta r ortogonalmente.
Calcule a e b para que a reta r esteja contida no plano π . Dados: r:x - 2 8 = y + 2 a = z - b 4 e π { a x+ 8 y - 16 z+12=0 .
Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Dados A=( 2,1 , - 3 ) , s : {x - 1 1 = y - 1 = z + 3 2 e π { 3 x + 3 y - z + 3 = 0 , escreva equações da reta r que passa por P , intercepta s e é paralela a π .
Escreva uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto P= ( 1,2 , 3 ) e é paralelo às retas x - 1 2= y - 1 3 = z - 1 4 e ⎧x=4⎧ ⎢ y=1 - λ⎢ ⎩z=1 + λ⎩