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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 18

Mostre que os planos

π 1 :   x = - λ + 2 μ y = m λ z = λ + μ                               π 2 :   x = 1 + m λ + μ y = 2 + λ z = 3 + m μ

São transversais, qualquer que seja o número real m .

Passo 1

Vamos escrever equações vetoriais para os planos:

π 1 : X = 0 ,   0 ,   0 + λ - 1 ,   m ,   1 + μ ( 2 ,   0 ,   1 )

π 1 : X = 1 ,   2 ,   3 + λ m ,   1 ,   0 + μ ( 1 ,   0 ,   m )

Passo 2

Podemos analisar a tripla de vetores { - 1 ,   m ,   1 ,   2 ,   0 ,   1 ,   m ,   1 ,   0 } ou { - 1 ,   m ,   1 ,   2 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   m } , se uma delas for LI, é fato que os planos serão transversais certo?

Analisando { - 1 ,   m ,   1 ,   2 ,   0 ,   1 ,   m ,   1 ,   0 } :

α - 1 ,   m ,   1 + β 2 ,   0 ,   1 + γ m ,   1 ,   0 = ( 0 ,   0 ,   0 )

- α + 2 β + m γ ,   α m + γ ,   α + β = ( 0 ,   0 ,   0 )

Igualando as coordenadas:

- α + 2 β + m γ = 0 α m + γ = 0 α + β = 0

Da terceira equação, temos - α = β , substituindo na primeira equação:

- α - 2 α + m γ = 0 → - 3 α + m γ = 0

Passo 3

Então agora temos o sistema:

- 3 α + m γ = 0 α m + γ = 0

Multiplicando em cima e embaixo por - m :

- 3 α + m γ = 0 - α m 2 - m γ = 0

Somando as duas equações:

α . - 3 - m 2 = 0

A única solução real para essa equação é α = 0 .

Como α = - β , temos também que β = 0 .

Logo, o nosso sistema mostra que os 3 vetores sempre são LI, independente do valor de m .

Como uma das triplas que falamos é LI, já temos que os planos são transversais ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Na figura 14-9, A B C D E F G H é um cubo. Em cada um dos itens, a equação dada define, em relação ao sistema de coordenadas A , A B → , A D → , A E → , um plano π 1 , e, em relação ao sistema de coor
Representar graficamente os planos de equações: x + y - 3 = 0
Determinar a e b , de modo que os planos π 1 : 2 m x + 2 y - z = 0 e π 2 : 3 x - m y + 2 z - 1 = 0 Sejam perpendiculares.
Determinar a e b , de modo que os planos π 1 : a x + b y + 4 z - 1 = 0 e π 2 : 3 x - 5 y - 2 z + 5 = 0 Sejam paralelos.
Nos problemas 45 e 46, estabelecer as equações reduzidas, sendo x a variável independente da reta interseção dos planos: π 1 : 3 x - y + z - 3 = 0 π 2 : x + 3 y + 2 z + 4 = 0