Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 10.Exercício - Ex. 6
Mostre que toda permutação cíclia de uma base é concordante com ela, e que toda permutação não-cíclica é discordante. Permutação cíclica de é qualquer permutação obtida levando-se, sucessivamente, o primeiro elemento para a última posição: , , ; permutação não-cíclica de é qualquer permutação obtida trocando-se de posição dois elementos quaisquer sem alterar a posição do terceiro: , , .
Passo 1
Para verificar se duas bases são concordantes ou não, basta construir a matriz de mudança de base e calcular seu determinante. Vamos fazer primeiro para as permutações cíclicas. Note que
Considerando , temos que
Calculando o determinante:
Já para , temos que
Por fim, para :
Em todos os casos, , de modo que as bases são concordantes!
Passo 2
Agora vamos para as permutações não-cíclicas. Primeiro com :
Já para :
E para :
Assim, como , as bases são discordantes nesses casos!
Resposta
Demonstração.