Mostre que toda permutação cíclia de uma base E = u → ,   v → ,   w → é concordante com ela, e que toda permutação não-cíclica é discordante. Permutação cíclica de E é qualquer permutação obtida levando-se, sucessivamente, o primeiro elemento para a última posição: v → ,   w → ,   u → , w → ,   u → ,   v → , u → ,   v → ,   w → ; permutação não-cíclica de E é qualquer permutação obtida trocando-se de posição dois elementos quaisquer sem alterar a posição do terceiro: ( u → ,   w → ,   v → ) , ( w → ,   v → ,   u → ) , v → ,   u → ,   w → .

Passo 1

Para verificar se duas bases são concordantes ou não, basta construir a matriz de mudança de base M E F e calcular seu determinante. Vamos fazer primeiro para as permutações cíclicas. Note que

u → = 1 ,   0 ,   0 E ,               v → = 0 ,   1 ,   0 E             e             w → = 0 ,   0 ,   1 E

Considerando F = v → ,   w → ,   u → , temos que

M E F = 0 0 1 1 0 0 0 1 0

Calculando o determinante:

0 0 1 1 0 0 0 1 0 = 1 ⋅ 1 - 0 = 1 > 0

Já para F = w → ,   u → ,   v → , temos que

M E F = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ⟹ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 = - 1 ⋅ 0 - 1 = 1 > 0

Por fim, para F = u → ,   v → ,   w → :

M E F = I 3 ⇒ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1 > 0

Em todos os casos, det ⁡ M E F > 0 , de modo que as bases são concordantes!

Passo 2

Agora vamos para as permutações não-cíclicas. Primeiro com F = ( u → ,   w → ,   v → ) :

M E F = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ⇒ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 = 1 ⋅ 0 - 1 = - 1 < 0

Já para F = ( w → ,   v → ,   u → ) :

M E F = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ⇒ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 = - 1 < 0

E para F = v → ,   u → ,   w → :

M E F = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ⇒ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 = - 1 < 0

Assim, como det ⁡ M E F < 0 , as bases são discordantes nesses casos!

Resposta

Demonstração.

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