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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 10.Exercício - Ex. 8

Sejam A e B as duas orientações de V 3 e E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 uma base pertencente a A . Verifique, em cada caso, se F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 pertence a A ou a B .

a) f → 1 = - e → 1 + e → 2 - 2 e → 3 f → 2 = - 2 e → 1 + e → 2 f → 3 = e → 1 + e → 3

b) e → 1 = - 2 f → 1 e → 2 = f → 2 - f → 3 e → 3 = f → 1 + f → 2 + f → 3

Passo 1

Para verificar se as bases são concordantes ou não, temos que construir a matriz de mudança de base e calcular seu determinante. No item (a), vamos construir a matriz M E F com as colunas sendo as coordenadas de f → i na base E :

M E F = - 1 - 2 1 1 1 0 - 2 0 1

Calculando o determinante:

det ⁡ M E F = - 1 ⋅ 1 - 0 + 2 ⋅ 1 - 0 + 1 ⋅ 0 + 2 = - 1 + 2 + 2 = 3 > 0

Assim, as bases são concordantes. Como E pertence a A , nesse caso F também pertence a A .

Passo 2

Já no item (b), devemos montar a matriz M F E com as coordenadas de e → i escritos na base F :

M F E = - 2 0 1 0 1 1 0 - 1 1

Usando a primeira coluna para o determinante:

det ⁡ M F E = - 2 ⋅ 1 + 1 = - 4 < 0

Desta forma, as bases são discordantes, de modo que F pertence a B

Resposta

A (a) e B (b)

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