Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 10.Exercício - Ex. 1

Prove que, quaisquer que sejam as bases E , F e G de V 3 ,

a) se E é discordante de F , então F é discordante de E ;

b) se E e F são concordantes e F e G são discordantes, então E e G são discordantes;

c) se E e F são discordantes e F e G são concordantes, então E e G são discordantes;

d) se E e F são discordantes e F e G são discordantes, então E e G são concordantes.

Passo 1

Vamos provar primeiro o item (a).

Sabemos que se E é discordante de F , vale det ⁡ M E F < 0 . Por outro lado, sabemos que

M F E = M E F - 1

Como

det ⁡ M - 1 = 1 det ⁡ M

o sinal do determinante da inversa é o mesmo que o determinante da matriz, de modo que

det ⁡ M E F < 0 ⇒ det ⁡ M F E < 0

Assim, como det ⁡ M F E < 0 , F é discordante de E .

Passo 2

Já no item (b), se E e F são concordantes e F e G são discordantes, temos que

det ⁡ M E F > 0                 e               det ⁡ M F G < 0

Sabemos também que

M E G = M E F   M F G ⇒ det ⁡ M E G = det ⁡ M E F   ( det ⁡ M F G )

Assim, com os sinais que já temos:

det ⁡ M E G < 0

Assim, E e G são discordantes.

Passo 3

Já no item (c), se E e F são discordantes e F e G são concordantes, temos que

det ⁡ M E F < 0                 e               det ⁡ M F G > 0

Sabemos também que

M E G = M E F   M F G ⇒ det ⁡ M E G = det ⁡ M E F   ( det ⁡ M F G )

Assim, com os sinais que já temos:

det ⁡ M E G < 0

Assim, E e G são discordantes.

Passo 4

Por fim, no item (d), se E e F são discordantes e F e G são discordantes, temos que

det ⁡ M E F < 0                 e               det ⁡ M F G < 0

Sabemos também que

M E G = M E F   M F G ⇒ det ⁡ M E G = det ⁡ M E F   ( det ⁡ M F G )

Assim, com os sinais que já temos:

det ⁡ M E G > 0

Assim, E e G são concordantes.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja w o subespaço de R 3 formado pelos vetores V = ( x , y , z ) tais que x + 2 y + 4 z = 0 . Obtenha uma base { V 1 , V 2 , V 3 } de R 3 tal que V 1eV 2 pertençam a w .
Suponha que { X 1 , X 2 , … , X n } seja uma base do R n . Mostre que se A e uma matriz nxn não singular, então { A X 1 , A X 2 , … , X n } também é uma base de R n . E se A for singular?
Seja w 1 o subespaço de p 3 que consiste de todos os polinômios p ( t ) tais que p 0 = 0 , e seja w 2 o subespaço de p 3 dos polinômios q ( t ) tais que q 1 = 0 . Encontre bases para,a) w 1 ; b) w 2 ;
Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços abaixo: a) Das matrizes n × n que tem a primeira linha igual a última linha. b) Das funções que possuem a segunda derivada identicamente nula.
Seja S = p 0 ,p 1 , … , p n um conjunto de polinômios tais que o grau de p k é igual a k, para k=0 , . . . , n . Mostre que S é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n.