Sejam W 1 e W 2 dois subespaços.c) Definimos a soma dos subespaços W 1 e W 2 por W 1 + W 2 = { V 1 + V 2 | V 1 ∈ W 1 eV 2 ∈ W 2 } Mostre que W 1 + W 2 é um subespaço que contém W 1 e W 2 .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 17c

Sejam e dois subespaços.

c) Definimos a soma dos subespaços e por

Mostre que é um subespaço que contém e .

Passo 1

Agora vamos utilizar a definição de subespaço com um pouco mais de detalhes, lembra que dissemos lá na alternativa a) no passo 1, que se temos um vetor que pertença a um subespaço de , temos necessariamente que:

Também temos pela propriedade a) que se temos um segundo vetor , se temos um subespaço, necessariamente, temos que:

Se também pertence ao subespaço. Aqui no caso, temos que e .

Passo 2

Como ambos vetores ainda pertencem a subespaços, temos que as seguinte relações ainda são verdade:

E portanto, temos que:

da mesma forma. Multiplicar por um escalar é trivialmente válido, e portanto, temos que é um vetor que pertence a um subespaço, o que chamamos aqui de .

Passo 3

Agora para a condição final, note que se ou , temos que a soma se reduz a ou e portanto a soma, necessariamente nos levaria a um subespaço maior que contém o subespaço menor. A questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo dos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Mostrar que o conjunto {[[[2,3],[-,1,0]]] , [[[1,-,1],[0,-,2]]] , [[[-,3,-,2],[1,-,1]]] , [[[3,-,7],[-,2,5]]]} é uma base de M (2,2) .

Mostrar que os vetores v 1 = 1,1 , 1 ,v 2 = 1,2 , 3 ,v 3 = 3,0 , 2ev 4 = ( 2 , - 1,1 ) geram o I R 3 e encontrar uma base dentre os vetores v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 .

Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do R 3 ? 1 ,1 ,- 1 ,2 ,- 1 ,0 ,3 ,2 ,0 1 ,0 ,1 ,0 ,- 1 ,2 ,- 2 ,1 ,- 4 2 ,1 ,- 1 ,- 1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 1 ,2 ,3 ,4 ,1 ,2 0 ,- 1 ,2 ,2 ,1 ,3 ,- 1 ,

Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de P 2 ? 2 t 2 + t - 4 , t 2 - 3 t + 1 1 ,t ,t 2 2 ,1 - x , 1 + x 2 1 + x + x 2 , x + x 2 , x 2 1 + x , x - x 2 , 1 + 2 x - x 2

Se e → 1 , e → 2 ,e → 3 é base, prove que α 1 e → 1 ,α 2 e → 2 ,α 3 e → 3 é base se, e somente se, α 1 , α 2 e α 3 não são nulos. Interprete geometricamente.