Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 10.Exercício - Ex. 4
As bases e são tais que é paralelo a , . Verifique se essas bases são concordantes ou não, nos casos em que:
a) e são de mesmo sentido, e também, mas e são de sentido contrário;
b) e são de mesmo sentido, .
c) e são de sentido contrário, .
d) e são de sentido contrário, e também, mas e são de mesmo sentido.
Passo 1
Bom, nesse problema, os vetores são sempre paralelos aos vetores . Queremos saber, em cada caso, se as bases e são concordantes ou discordantes. Para isso, partimos do princípio que se todos os pares e têm mesmo sentido, as bases serão concordantes e a cada permutação de sentido de um dos pares essa relação é trocada.
No item (a), apenas um dos pares tem essa relação invertida, o par com . Assim, como houve apenas uma permutação, as bases são discordantes nesse caso.
Passo 2
Já no item (b), todos tem o mesmo sentido, de modo que as bases são concordantes.
Passo 3
No item (c), todos os pares têm sentidos contrários. Assim, foram três permutações. Com uma parmutação as bases se tornam discordantes, com duas elas voltam a ser concordantes e com três elas terminam discordantes. Portanto, nesse caso elas são discordantes!
Passo 4
Por fim, no item (d), para e o sentido é contrário, enquanto para é o mesmo sentido. Sendo assim, temos dois pares permutados, de modo que as bases são concordantes!
Resposta
Concordantes: (b) e (d).
Discordantes: (a) e (c).