Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 10a
Dê exemplo de:
Três vetores , e , sendo L.I., L. I., e não são múltiplos de e são L.D.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Saca só, de cara tenho que indicar que falta uma pequena informação neste enunciado. é linearmente independente com quem? Temos duas possibilidades aqui, ou são L.I. ou são L.I., no entanto, se escolhermos a primeira possibilidade serão linearmente independentes, já que é L.I com que é L.I. com . Portanto , vamos considerar a opção são L.I. Beleza, continuando…
Vamos tentar propor exemplos fáceis das condições acima, beleza?
Passo 2
A primeira coisa que eu definiria são os seguintes vetores:
Ambos estes vetores permitem apenas a solução trivial ()para:
Portanto, são linearmente independentes! Beleza, temos nossos dois primeiros vetores. Agora preciso escolher um terceiro que seja L.I com mas que não seja múltiplo de e ainda assim garanta que são L.D. Bora lá!
Passo 3
Se queremos que sejam L.D., temos que a seguinte relação deve ter uma solução não trivial :
Se supormos um terceiro vetor arbitrário da forma:
Podemos escrever a seguinte matriz:
Vamos analisar algumas condições sobre os três parâmetros, belezinha?
Passo 4
De cara, temos que se , o sistema seria linearmente independente, já que não poderíamos eliminar este componente com e na equação (1), portanto temos que é necessário que . Temos que para que não seja proporcional à , e como e que , também é necessário que para que sejam L.I., vamos tentar chutar algo usando estas condições! E se , temos o seguinte:
Note que:
tem solução não-trivial se:
Onde é qualquer número real, portanto, o sistema é linearmente independente! Essa foi a primeira alternativa, te vejo jajá!