Seja V = I R 3 e o conjunto

B = 0,1 , 1 ,   1,1 , 0 , 1,2 , 1   ⊂ I R 3  

  1. Mostrar que B não é base do I R 3 .
  2. Determinar uma base do I R 3 que possua dois elementos de B .

Passo 1

(A) Para mostrar que não é base, podemos verificar que os vetores não são LI. Vamos ver isso:

a 0,1 , 1 + b 1,1 , 0 + c 1,2 , 1 = ( 0,0 , 0 )

A gente monta o sistema...

{ b + c = 0   a + b + 2 c = 0   a + c = 0  

Da primeira e da última, temos que a = - c   e   b = - c

Substituindo na segunda, temos:

- c - c + 2 c = 0 → 0 = 0

Ou seja, para qualquer valor de c o sistema vai ter solução.

Como não temos somente a solução trivial, os vetores não são LI, logo não formam uma base.

Passo 2

(B)Agora precisamos encontrar uma base usando dois desses vetores.

Vamos usar (0,1,1) e (1,1,0). Precisamos de mais 1.

Pra ser LI, podemos usar os mesmos algarismos, vamos só trocar a posição ali...

( 0,0 , 1 )

É um exemplo. Ele não é múltiplo de nenhum dos dois e vai satisfazer a condição de a = b = c = 0 na combinação linear. Então uma base é:

B = { 0,1 , 1 , 1,1 , 0 , 0,0 , 1 }

Resposta

B = { 0,1 , 1 , 1,1 , 0 , 0,0 , 1 }

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