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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 65

Mostrar que os polinômios p 1 = 1 + 2 x - 3 x 2 ,   p 2 = 1 - 3 x + 2 x 2   e   p 3 = 2 - x + 5 x 2 formam uma base do espaço dos polinômios de grau ≤ 2 e calcular o vetor-coordenada de p = - 2 - 9 x - 13 x 2 na base β = { p 1 ,   p 2 , p 3 } .

Passo 1

Vamos mostrar que forma uma base...

A gente pode escrever os vetores com os coeficientes dos polinômios assim:

p 1 = 1 ,   2 ,   - 3 ,     p 2 = 1 ,   - 3 ,   2 ,     p 3 = 2 ,   - 1 ,   5

β = 1 ,   2 ,   - 3 ,   1 ,   - 3 ,   2 ,   2 ,   - 1 ,   5

Vamos ver se eles são LI... pra isso podemos colocar eles numa matriz e escalonar, se caso nenhuma linha zera, então nossos vetores são LI, sendo assim, temos que:

1 2 - 3 1 - 3 2 2 - 1 5 ⇒   L 2 = L 2 - L 1 L 3 = L 3 - 2 L 1 = 1 2 - 3 0 - 5 5 0 - 5 11

1 2 - 3 0 - 5 5 0 - 5 11 ⇒     L 3 = L 3 - L 2 = 1 2 - 3 0 - 5 5 0 0 6

Como nenhuma linha zerou, temos que todos polinômios são LI.

Passo 2

Pra achar o vetor coordenada pedido, fazemos:

a 1 ,   2 ,   - 3 + b 1 ,   - 3 ,   2 + c 2 ,   - 1 ,   5 = - 2 , - 9 , - 13

Onde vetor - 2 , - 9 , - 13 escrito na base β dos polinômios será dado pelas coordenadas ( a , b , c ) :

Sendo assim, podemos montar um sisteminha tal que:

a + b + 2 c = - 2 2 a - 3 b - c = - 9 - 3 a + 2 b + 5 c = - 13

Passando pra forma de matriz:

1 1 2 2 - 3 - 1 - 3 2 5 - 2 - 9 - 13

Agora escalonando o sistema, vamos obter que:

1 1 2 2 - 3 - 1 - 3 2 5 - 2 - 9 - 13 ⇒   L 2 = L 2 - L 1 L 3 = L 3 + 3 L 1 = 1 1 2 0 - 5 - 5 0 5 11 - 2 - 5 - 1 9

1 1 2 0 - 5 - 5 0 5 11 - 2 - 5 - 19 ⇒     L 3 = L 3 + L 2 = 1 1 2 0 - 5 - 5 0 0 6 - 2 - 5 - 24

1 1 2 0 - 5 - 5 0 5 11 - 2 - 5 - 19 ⇒   L 2 = - 1 5 L 2 L 3 = 1 6 L 3 = 1 1 2 0 1 1 0 0 1 - 2 1 - 4

Logo, da última linha tiramos que:

0 a + 0 b + c = - 4

c = - 4

Na segunda linha, temos que:

0 a + b + c = 1

b - 4 = 1

b = 5

E por fim, na primeira linha, obtemos:

a + b + 2 c = - 2

a + 5 + 2 - 4 = - 2

a = 1

Tal que:

a ,   b ,   c = 1 ,   5 ,   - 4

Portanto, o vetor-coordenada de p = - 2 - 9 x - 13 x 2 na base β = { p 1 ,   p 2 , p 3 } é dado como:

p β = 1 ,   5 ,   - 4

Resposta

p β = 1 ,   5 ,   - 4

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Determine uma base para o plano a x + b y + c z=0 no caso em que b ≠ 0 e no caso em que c ≠ 0 .
Considere os seguintes subespaços de R 3 : V=[ ( - 1,2 , 3 ) , ( 1,3 , 4 ) ] e W= [ ( 1,2 , - 1 ) , ( 0,1 , 1 ) ] . Encontre as equações paramétricas da reta V ∩ W e uma base para o subespaço V ∩ W .
Seja V = { ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) |a , b , c∈ R } um subespaço de R 3 .b) Determine uma base para V .
Seja W o plano x+2 y+ 4 z = 0 . Obtenha uma base { V 1 , V 2 , V 3 } de R 3 tal que V 1 e V 2 pertençam a W .
Dê exemplo de: a ) Três vetores V 1 , V 2 e V 3 , sendo { V 1 } L.I., { V 2 , V 3 } L. I., V 2 e V 3 não são múltiplos de V 1 e { V 1 , V 2 , V 3 } são L.D.