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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 62

Mostrar que o conjunto

{ (1,1 , 0,0) , (0,0 , 1,1) , (1,0 , 0,3) , (0,0 , 0,5) }

é uma base de I R^4 .

Passo 1

Vamos provar as duas hipóteses que precisam ser satisfeitas para um conjunto ser base:

  • a (1,1 , 0,0) + b (0,0 , 1,1) + c (1,0 , 0,3) + d (0,0 , 0,5) = ( 0,0 , 0,0 ) somente se a = b = c = d = 0 (vetores LI)

  • O sistema a (1,1 , 0,0) + b (0,0 , 1,1) + c (1,0 , 0,3) + d (0,0 , 0,5) = ( x , y , w , z ) tem solução. (o conjunto gera I R^4 )

Passo 2

Vamos para a primeira...

a (1,1 , 0,0) + b (0,0 , 1,1) + c (1,0 , 0,3) + d (0,0 , 0,5) = ( 0,0 , 0,0 )

Somamos e igualamos as coordenadas correspondentes...

a + c = 0 ( 1 )

a = 0 (2)

b = 0 ( 3 )

b + 3 c + 5 d = 0 ( 4 )

De (1) a gente tem que a = - c e como a = 0 , c = 0 também.

Substituindo a = 0 , b = 0 e c = 0 na última igualdade, temos:

0 + 3 (0) + 5 d = 0 -> d = 0

Então, a única solução do sistema é a solução trivial, logo os vetores são LI.

Passo 3

Agora a gente vai para a outra condição. Vamos ver se o conjunto gera o I R^4 :

a (1,1 , 0,0) + b (0,0 , 1,1) + c (1,0 , 0,3) + d (0,0 , 0,5) = ( x , y , w , z )

a + c = x ( 1 )

a = y (2)

b = w ( 3 )

b + 3 c + 5 d = z ( 4 )

De (2) e (1) temos que c = x - y .

Substituindo c e b em (4)...

w + 3 x - 3 y + 5 d = z

d = (z - w - 3 x + 3 y)/(5)

Ou seja, o sistema apresenta solução para quaisquer valores de x , y , w , z . Com isso, a gente descobre que esse conjunto é gerador do I R^4 .

Ou seja, já que provamos as duas condições, o conjunto é uma base do I R^4 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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