Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 40
Sejam o espaço vetorial das funções contínuas em e a transformação definida por
Será um operador linear?
Passo 1
Para que um operador seja linear, ele deve satisfazer as duas a homogeneidade e a aditividade:
Passo 2
Vamos garantir a homogeneidade:
Como sabemos, em uma integral, podemos colocar as contantes para fora. Então vamos reorganizar a expressão:
Logo:
E isso demonstra a homogeneidade.
Passo 3
Vamos garantir a aditividade
Vamos aplicar a propriedade distributiva, e separar a integral:
Logo:
E isso demonstra a aditividade.
Resposta
T é um operador linear
Exercícios de Livros Relacionados
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Dada uma base f = { f 1 , … , f n } do espaço dual V * , mostre que existe uma base B = { V 1 , … , V n } de V tal que B * = f , onde B * = { g 1 , … , g
Seja T : V →w uma transformação linear. Mostre que T e injetiva se, e somente se, a imagem de todo ´ conjunto de vetores linearmente independente e um conjunto de vetores linearmente independente.
Mostre que se V ∈V é tal que f V = 0 , para todo funcional linear de V , então v = 0 - .
Definimos o espaço bidual de V por V * * = L ( V * ; R ) , onde V * = L ( V ; R ) é o espaço dual de V . Seja V um espaço de dimensão finita. Considere a função ξ : V → V * * que associa a cada vetor
Seja λ um escalar. Considere o operador diferencial D - λ I : C ∞ R → C ∞ ( R ) , dado por D - λ I f = f ' - λ f ,p a r at o d o → f ∈ C ∞ ( R ) a) Mostre que o núcleo de D - λ I tem dimensão 1. (Suge