Sejam o espaço vetorial das funções contínuas em e a transformação definida por
Será um operador linear?
Passo 1
Para que um operador seja linear, ele deve satisfazer as duas a homogeneidade e a aditividade:
Passo 2
Vamos garantir a homogeneidade:
Como sabemos, em uma integral, podemos colocar as contantes para fora. Então vamos reorganizar a expressão:
Logo:
E isso demonstra a homogeneidade.
Passo 3
Vamos garantir a aditividade
Vamos aplicar a propriedade distributiva, e separar a integral:
Logo:
E isso demonstra a aditividade.
Resposta
T é um operador linear