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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.10 - Ex. 23

Seja T A   :   R 3   →   R 3 a multiplicação por.

A = - 1 3 0 2 1 2 4 5 - 3

e sejam e 1   , e 2 e e 3 os vetores da base canônica de R 3 . Em cada

parte, encontre o vetor por inspeção.

  1. T A ( e 1 ) ,   T A e 2 , T A ( e 3 ) .
  2. T A ( e 1 + e 2 + e 3 )
  3. T A ( 7 e 3 )

Passo 1

  1. Analisando a matriz:

    A = - 1 3 0 2 1 2 4 5 - 3

    É possível ver que seus vetores canônicos serão seus vetores colunares, logo:

    T A e 1 = ( - 1,2 , 4 )

    T A e 2 = 3,1 , 5

    T A e 3 = ( 0,2 , - 3 )

    Passo 2

  2. Agora que conhecemos a cara dos nossos vetores T A ( e 1 + e 2 + e 3 ) fica assim:

    T A e 1 + e 2 + e 3 = ( - 1 + 3 + 0,2 + 1 + 2,4 + 5 - 3 )

    T A e 1 + e 2 + e 3 = ( 2,5 , 6 )

    Passo 3

Da mesma forma encontramos T A ( 7 e 3 ) :

T A 7 e 3 = ( 7 * 0,7 * 2,7 * - 3 ) = ( 0 ,   14 ,   - 21 )

Resposta

  1. T A e 1 = - 1,2 , 4 ,     T A e 2 = 3,1 , 5 ,     T A e 3 = ( 0,2 , - 3 ) .

  2. T A e 1 + e 2 + e 3 = ( 2,5 , 6 )

  3. T A 7 e 3 = ( 0 ,   14 ,   - 21 )
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Pode ser provado que se A for uma matriz 2 × 2 de vetores colunas ortonormais e com det ⁡ A = 1 , então a multiplicação por A é uma rotação por algum ângulo θ . Verifique que: A =- 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2
Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R 3 por um ângulo de - 60 ° em torno do eixo x .
Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R 3 por um ângulo de - 60 ° em torno do eixo y .
Em cada caso, descreva em palavras o efeito geométrico de multiplicar um vetor x → pela matriz A . A =2 0 0 3 A =3 2 - 1 2 1 2 3 2
Use a Fórmula ( 15 ) para encontrar a matriz canônica de uma rotação de 180 ° em torno do eixo determinado pelo vetor v( 2 ,2 ,1 ) . [Observação: a Fórmula ( 15 ) exige que o vetor que define o eixo d