Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 10
Nos Exercícios , determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.
O conjunto de todas as funções reais definidas em cada ponto da reta real e tais que , com as operações do Exemplo .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Para determinar se o conjunto de todas as funções com valor real definidas em qualquer lugar na linha real é um espaço vetorial. A função é definida de tal forma que:
E:
Sendo este grupo denotado por .
Então:
Assim, podemos dizer que está em , portanto o axioma é satisfeito.
Passo 2
Vamos encontrar :
Além disso sabemos que:
Portanto:
Estando assim satisfeito o axioma .
Passo 3
O axioma diz que tem que ser igual a . Temos que:
Uma vez que e são números reais, analogamente podemos dizer que:
Portanto:
Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.
Passo 4
Seja a função que é zero em , temos que:
Logo:
Temos também que:
Logo:
Ficando assim satisfeito o axioma .
Passo 5
Seja o negativo de :
Portanto:
Portanto pertence a . Além disso, podemos dizer que:
Ou seja:
Pela propriedade comutativa, sabemos que:
Portanto, está em e . Sendo assim o axioma está provado.
Seja um escalar, temos que:
Como , temos que:
Portanto o axioma está satisfeito.
Passo 6
Para mostrar que para qualquer escalar e qualquer elemento e em , temos que:
Aplicando ao problema, temos que:
Respeitando assim o axioma .
Passo 7
Vamos encontrar :
Temos também que:
Ou seja:
Satisfazendo assim o axioma .
Vamos encontrar agora
Portanto:
Satisfazendo assim o axioma .
Passo 8
Para o axioma , temos que:
Analogamente, temos que:
Portanto o axioma é satisfeito.
Como todos os axiomas foram provados, o conjunto , é um espaço vetorial.
Resposta
É espaço vetorial.