Enunciado

Nos Exercícios 3 - 12 , determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

O conjunto de todas as funções reais f definidas em cada ponto da reta real e tais que f 1 = 0 , com as operações do Exemplo 6 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para determinar se o conjunto de todas as funções com valor real f definidas em qualquer lugar na linha real é um espaço vetorial. A função f é definida de tal forma que:

f 1 = 0

f + g x = f x + g x

E:

k f x = k f x

Sendo este grupo denotado por A .

Então:

f + g 1 = f 1 + g 1

f + g 1 = 0

Assim, podemos dizer que f + g está em A , portanto o axioma 1 é satisfeito.

Passo 2

Vamos encontrar f + g :

f + g x = f x + g x

Além disso sabemos que:

g + f x = g x + f x

Portanto:

f + g = g + f

Estando assim satisfeito o axioma 2 .

Passo 3

O axioma 3 diz que f + ( g + h ) tem que ser igual a f + g + h . Temos que:

f + g + h x = f x + g x + h x

f + g + h x = f x + g x + h x

Uma vez que f x ,   g x e h x são números reais, analogamente podemos dizer que:

f + g + h x = f x + g x + h x

f + g + h x = f x + g x + h x

Portanto:

f + g + h = f + g + h

Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.

Passo 4

Seja z x = 0 a função que é zero em A , temos que:

f + z x = f x + z x

f x + z x = f x + 0

Logo:

f x + 0 = f x

Temos também que:

z + f x = z x + f x

z x + f x = 0 + f x

Logo:

0 + f x = f x

Ficando assim satisfeito o axioma 4 .

Passo 5

Seja o negativo de f x :

- f 1 = - f 1

Portanto:

- f 1 = 0

Portanto - f pertence a A . Além disso, podemos dizer que:

f x - f x = 0

Ou seja:

f + - f x = 0

Pela propriedade comutativa, sabemos que:

- f + f x = 0

Portanto, - f está em A e f + - f = - f + f = 0 . Sendo assim o axioma 5 está provado.

Seja k um escalar, temos que:

k f 1 = k f 1

Como f 1 = 0 , temos que:

k f 1 = k 0 = 0

Portanto o axioma 6 está satisfeito.

Passo 6

Para mostrar que para qualquer escalar k e qualquer elemento u e v em A , temos que:

k u + v = k u + k v

Aplicando ao problema, temos que:

k f + g 1 = k f 1 + k g 1

k f + g 1 = 0

Respeitando assim o axioma 7 .

Passo 7

Vamos encontrar k + m f :

k + m f x = k + m f x

Temos também que:

k + m f 1 = k + m f 1

k + m f 1 = k f 1 + m f 1

k + m f 1 = 0

Ou seja:

k + m f = k f + m f

Satisfazendo assim o axioma 8 .

Vamos encontrar agora k m f

k m f x = k m f x

k m f x = k m f x

Portanto:

k m f 1 = k m f 1

Satisfazendo assim o axioma 9 .

Passo 8

Para o axioma 10 , temos que:

1 f x = 1 f x

1 f x = f x

Analogamente, temos que:

1 f 1 = f 1 = 0

Portanto o axioma 10 é satisfeito.

Como todos os 10 axiomas foram provados, o conjunto A , é um espaço vetorial.

Resposta

É espaço vetorial.

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