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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 7

Nos Exercícios 3 - 12 , determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

O conjunto de todos os termos de números reais com a operação padrão de adição, mas com multiplicação por escalar definida por

a x , y , z = a 2 x , a 2 y , a 2 z

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para testar os axiomas, precisaremos fazer algumas considerações:

Seja:

u = ( x 1 ,   y 1 , z 1 )

v = ( x 2 ,   y 2 , z 2 )

w = ( x 3 ,   y 3 , z 3 )

Seja V o conjunto de números reais da forma:

x 1 ,   y 1 , z 1

Então:

u + v = ( x 1 ,   y 1 , z 1 ) + ( x 2 ,   y 2 , z 2 )

u + v = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

Assim, podemos dizer que u + v está em V , portanto o axioma 1 é satisfeito.

Passo 2

Vamos encontrar v + u :

v + u = ( x 2 ,   y 2 , z 2 ) + ( x 1 ,   y 1 , z 1 )

v + u = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

Portanto, podemos dizer que:

u + v = v + u

Estando assim satisfeito o axioma 2 .

Passo 3

O axioma 3 diz que u + ( v + w ) tem que ser igual a u + v + w . Temos que:

u + v + w = ( x 1 ,   y 1 , z 1 ) + ( x 2 ,   y 2 , z 2 ) + ( x 3 ,   y 3 , z 3 )

u + v + w = ( x 1 ,   y 1 , z 1 ) + x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 , z 2 + z 3

Portanto:

u + v + w = x 1 + x 2 + x 3 , y 1 + y 2 + y 3 , z 1 + z 2 + z 3

Agora vamos avaliar u + v + w . Temos que:

u + v + w = ( x 1 ,   y 1 , z 1 ) + ( x 2 ,   y 2 , z 2 ) + ( x 3 ,   y 3 , z 3 )

u + v + w = ( x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) + ( x 3 ,   y 3 , z 3 )

Portanto:

u + v + w = x 1 + x 2 + x 3 , y 1 + y 2 + y 3 , z 1 + z 2 + z 3

Ou seja:

u + v + w = u + v + w

Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.

Passo 4

Seja 0,0 , ⋯ , 0 o vetor zero em V , temos que:

u + 0 = ( x 1 ,   y 1 , z 1 ) + 0,0 , 0

u + 0 = ( x 1 + 0 ,   y 1 + 0 , z 1 + 0 )

Logo:

u + 0 = ( x 1 ,   y 1 , z 1 ) = u

Temos também que:

0 + u = 0,0 , 0 + ( x 1 ,   y 1 , z 1 )

0 + u = 0 + x 1 , 0 + y 1 , 0 + z 1

Logo:

0 + u = ( x 1 ,   y 1 , z 1 ) = u

Portanto:

u + 0 = 0 + u = u

Ficando assim satisfeito o axioma 4 .

Passo 5

Seja o negativo de u :

- u = ( - x 1 ,   - y 1 , - z 1 )

Portanto:

u + - u = ( x 1 ,   y 1 , z 1 ) + ( - x 1 ,   - y 1 , - z 1 )

u + - u = ( x 1 - x 1 ,   y 1 - y 1 , z 1 - z 1 )

Logo:

u + - u = 0,0 , 0

Além disso, podemos dizer que:

u + - u = - u + u

Portanto, - u está em V e u + - u = - u + u = 0 . Sendo assim o axioma 5 está provado.

Seja k um escalar, temos que:

k u = k ( x 1 ,   y 1 , z 1 )

k u = k 2 x 1 , k 2 y 1 , k 2 z 1

Portanto o axioma 6 está satisfeito.

Passo 6

Já sabemos que u + v = ( x + x ' ,   x + x ' ,   ⋯   ,   x + x ' ) , portanto:

k u + v = k ( x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

k u + v = ( k 2 x 1 + k 2 x 2 , k 2 y 1 + k 2 y 2 , k 2 z 1 + k 2 z 2 )

Sabemos também que:

k u = k 2 x 1 , k 2 y 1 , k 2 z 1

Analogamente, temos que:

k v = k 2 x 2 , k 2 y 2 , k 2 z 2

Portanto:

k u + k v = k 2 x 1 , k 2 y 1 , k 2 z 1 + k 2 x 2 , k 2 y 2 , k 2 z 2

k u + k v = ( k 2 x 1 + k 2 x 2 , k 2 y 1 + k 2 y 2 , k 2 z 1 + k 2 z 2 )

Ficando assim provado que:

k u + v = k u + k v

Respeitando assim o axioma 7 .

Passo 7

Vamos encontrar k + m u :

k + m u = k + m ( x 1 ,   y 1 , z 1 )

k + m u = k + m 2 x 1 , k + m 2 y 1 , k + m 2 z 1

Temos também que:

k u + m u = k x 1 , y 1 , z 1 + m x 1 , y 1 , z 1

k u + m u = k 2 x 1 , k 2 y 1 , k 2 z 1 + m 2 x 1 , m 2 y 1 , m 2 z 1

k u + m u = k 2 x 1 + m 2 x 1 , k 2 y 1 + m 2 y 1 , k 2 z 1 + m 2 z 1

Ou seja:

k + m u ≠ k u + m u

Não satisfazendo assim o axioma 8 .

Vamos encontrar agora k m u

k m u = k ( m 2 x 1 , m 2   y 1 , m 2 z 1 )

k m u = ( k 2 m 2 x 1 , k 2 m 2   y 1 , k 2 m 2 z 1 )

k m u = k m x 1 , y 1 , z 1

Ou seja:

k m u = k m u

Satisfazendo assim o axioma 9 .

Passo 8

Para o axioma 10 , temos que:

1 u = 1 x 1 , y 1 , z 1

1 u = 1 2 x 1 , 1 2 y 1 , 1 2 z 1

1 u = u

Portanto o axioma 10 é satisfeito.

Como o axioma 8 não é válido, o conjunto V de todos os triplos de números reais não é um espaço vetorial sob as operações especificadas.

Resposta

Não é espaço vetorial.

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