Enunciado

Nos Exercícios 1-7, encontre a matriz de T em relação à base B e use o Teorema 8.5.2 para calcular a matriz de T em relação à base B ' .

7. T : R 2 → R 2 é definido por T a 1 + a 1 x = a 0 + a 1 x + 1 e B = p 1 , p 2 e B = q 1 , q 2 , sendo p 1 = 6 + 3 x , p 2 = 10 + 2 x , q 1 = 2 , q 2 = 3 + 2 x .

Passo 1

Vamos fazer a matriz T em relação à base B :

T p 1 = 6 + 3 x + 1

T p 1 = 6 + 3 x + 3

T p 1 = 9 + 3 x

Podemos expressar isso em relação a p 1 e p 2 :

T p 1 = a p 1 + b p 2

9 + 3 x = a 6 + 3 x + b 10 + 2 x

9 + 3 x = 6 a + 3 a x + 10 b + 2 b x

9 + 3 x = 6 a + 10 b + 3 a + 2 b x

Fica o sistema:

6 a + 10 b = 9 3 a + 2 b = 3

Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo:

6 b = 3

b = 1 2

Substituindo:

3 a + 2 1 2 = 3

3 a = 2

a = 2 3

Então:

T p 1 = 2 3 p 1 + 1 2 p 2

Passo 2

T p 2 = 10 + 2 x + 1

T p 2 = 10 + 2 x + 2

T p 2 = 12 + 2 x

Podemos expressar isso em relação a p 1 e p 2 :

T p 2 = a p 1 + b p 2

12 + 2 x = a 6 + 3 x + b 10 + 2 x

12 + 2 x = 6 a + 3 a x + 10 b + 2 b x

12 + 2 x = 6 a + 10 b + 3 a + 2 b x

Fica o sistema:

6 a + 10 b = 12 3 a + 2 b = 2

Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo:

6 b = 8

b = 4 3

Substituindo:

3 a + 2 4 3 = 2

3 a = 2 - 8 3

a = - 2 9

Então:

T p 2 = - 2 9 p 1 + 4 3 p 2

Então:

T B = 2 3 - 2 9 1 2 4 3

Passo 3

Agora como podemos escrever q 1 como combinação linear de p 1 e p 2 :

q 1 = a p 1 + b p 2

2 = a 6 + 3 x + b 10 + 2 x

2 = 6 a + 3 a x + 10 b + 2 b x

2 = 6 a + 10 b + 3 a + 2 b x

Fica o sistema:

6 a + 10 b = 2 3 a + 2 b = 0

Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo:

6 b = 2

b = 1 3

Substituindo:

3 a + 2 1 3 = 2

3 a = 2 - 1 3

a = 5 9

Então:

q 1 = 5 9 p 1 + 1 3 p 2

Passo 4

Agora como podemos escrever q 2 como combinação linear de p 1 e p 2 :

q 2 = a p 1 + b p 2

3 + 2 x = a 6 + 3 x + b 10 + 2 x

3 + 2 x = 6 a + 3 a x + 10 b + 2 b x

3 + 2 x = 6 a + 10 b + 3 a + 2 b x

Fica o sistema:

6 a + 10 b = 3 3 a + 2 b = 2

Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo:

6 b = - 1

b = - 1 6

Substituindo:

3 a + 2 - 1 6 = 2

3 a = 2 + 2 6

a = 7 9

Então:

q 2 = 7 9 p 1 - 1 6 p 2

Passo 5

Então a matriz de transição de B ' para B fica:

P B → B ' = - 2 9 7 9 1 3 - 1 6

E a matriz de transição de B para B ' :

P B → B ' = P B ' → B - 1

P B ' → B = 3 4 7 2 3 2 1

Passo 6

Agora é só colocar na fórmula:

T B ' = P B → B '   T B P B ' → B

T B ' = 3 4 7 2 3 2 1 2 3 - 2 9 1 2 4 3 - 2 9 7 9 1 3 - 1 6

T B ' = 1 1 0 1

Resposta

T B = 2 3 - 2 9 1 2 4 3

T B ' = 1 1 0 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a matriz de T em relação à base B e use o Teorema 8.5.2 para calcular a matriz de T em relação à base B ' . T : R 3 → R 3 é definido por T x 1 x 2 x 3 = x 1 + 2 x 2 - x 3 - x 2 x 1 + 7 x 3 e
9. Prove que as propriedades seguintes são invariantes de semelhança.(a) posto(b) nulidade(c) invertibilidade
10. Seja T : P 4 → P 4 o operador linear dado pela fórmula T p x = p 2 x + 1 .(a) Encontre uma matriz de T em relação a alguma base conveniente e, depois, use-a para encontrar o posto e a nulidade de
11. Em cada parte, encontre uma base em R 2 em relação à qual a matriz de T é diagonal.(a) T x 1 x 2 = x 1 - x 2 2 x 1 + 4 x 2 (b) T x 1 x 2 = 4 x 1 - x 2 - 3 x 1 + x 2
13. Seja T : P 2 → P 2 definido por T a 0 + a 1 x + a 2x 2 = 5 a 0 + 6 a 1 + 2 a 2 - a 1 + 8 a 2 x + a 0 - 2 a 2 x 2 (a) Encontre os autovalores de T .(b) Encontre bases dos autoespaços de T .