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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 14

14 Seja F e L(R^2) definido por F(x, y)= (x, x+y)

Passo 1

a)

Quando temos calculamos F^2 de um vetor qualquer w , o que queremos é

F (F (w))

Só isso, então vamos fazer a transformação pra um vetor qualquer e aplicar a transformação novamente no vetor encotrado. Tomando um vetor qualquer (x , y) , temos:

F (x , y) = (x , x + y)

Aplicando novamente:

F (F (x , y)) = F (x , x + y)

F (F (x , y)) = F (x , x + (x + y))

F (F (x , y)) = F (x , 2 x + y)

Ou seja:

F^2 (x , y) = (x , 2 x + y)

Passo 2

b)

Sabemos o valor de F^2 e de F , então podemos montar a equação:

F^2 - 2 F + I

Vamos usar um vetor qualquer: (x , y)

F^2 (x , y) - 2 F (x , y) + I (x , y)

Como sabemos o valor dessas transformações no Passo anterior e sabemos que a transformação Identidade não altera o vetor, podemos escrever:

F^2 (x , y) - 2 F (x , y) + I (x , y) = (x , 2 x + y) - 2 (x , x + y) + (x , y)

Multiplicando o escalar ao vetor:

F^2 (x , y) - 2 F (x , y) + I (x , y) = (x , 2 x + y) - (2 x , 2 x + 2 y) + (x , y)

Somando os vetores:

F^2 (x , y) - 2 F (x , y) + I (x , y) = (x - 2 x + x , 2 x + y - (2 x + 2 y) + y)

F^2 (x , y) - 2 F (x , y) + I (x , y) = (0 , 0)

Beleza, mas também precisamos mostrar que (F - I)^2 = 0 e que (F - I) != 0 . Vamos lá:

Sabemos que:

(F - I) (x , y) = F (x , y) - I (x , y)

(F - I) (x , y) = (x , x + y) - (x , y)

Fazendo as subtração de vetores:

(F - I) (x , y) = (x - x , x + y - y)

(F - I) (x , y) = (0 , x) != 0

Show, agora é só aplicar esse vetor mais uma vez a transformação que fizemos:

(F - I) ((F - I) (x , y)) = (F - I) (0 , x)

(F - I) ((F - I) (x , y)) = (0 , 0)

Com isso concluimos que

F^2 (x , y) - 2 F (x , y) + I (x , y) = (F - I)^2 (x , y) = (0 , 0)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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