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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 2

Seja F : R 3 → R 3 o operador linear assim definido na base canônica: F 1,0 , 0 = 2,3 , 1 , F 0,1 , 0 = 5,2 , 7 e F 0,0 , 1 = - 2,0 , 7 . Determinar F x , y , z , onde x , y , z é um vetor genético de R 3 . Mostra que F é um operador linear.

Passo 1

Definição: Sejam U e V espaços vetoriais sobre R . Uma aplicação F : U → V é chamada transformação linear de U em V se, e somente se,

F u + v = F u + F ( v )

E

F α u = α F ( u )

E é isso que queremos verificar nesse problema.

Passo 2

Mas para mostrar as condições acima (passo 1) eu preciso mostrar quem seria nosso operador que leva nossa base canônica de R 3 a uma base qualquer de R 3 , certo?

Então o que queremos achar? Queremos achar nosso operador matricial que aplicando os vetores da base canônica, ele dos dá os vetores indicados, ou seja

x , y , z a b c d e f g h i = a x + d y + g z ,   b x + e y + h z ,   c x + f y + i z

Então teremos que

1,0 , 0 = a ,   b , c = ( 2,3 , 1 )

0,1 , 0 = d , e , f = ( 5,2 , 7 )

0,0 , 1 = g , h , i = ( - 2,0 , 7 )

Ou seja, nosso operador será

F x , y , z = ( 2 x + 5 y - 2 z ,   3 x + 2 y ,   x + 7 y + 7 z )

Passo 3

E agora vamos mostrar que ele é operador linear. Tomamos a primeira condição dada por

F u + v = F x 1 , y 1 , z 1 + x 2 , y 2 , z 2 = F ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

Aplicando o operador

= 2 x 1 + x 2 + 5 y 1 + y 2 - 2 z 1 + z 2 , 3 x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 , x 1 + x 2 + 7 y 1 + y 2 + 7 z 1 + z 2

Fazendo as distributivas temos

= ( 2 x 1 + 2 x 2 + 5 y 1 + 5 y 2 - 2 z 1 - 2 z 2 , 3 x 1 + 3 x 2 + 2 y 1 + 2 y 2 , x 1 + x 2 + 7 y 1 + 7 y 2 + 7 z 1 + 7 z 2 )

E agora fazendo uma separação dos vetores, temos

2 x 1 + 5 y 1 - 2 z 1 , 3 x 1 + 2 y 1 , x 1 + 7 y 1 + 7 z 1

+

2 x 2 + 5 y 2 - 2 z 2 , 3 x 2 + 2 y 2 , x 2 + 7 y 2 + 7 z 2

Que são exatamentes nossas aplicações de u e v , ou seja

F u + F ( v )

A segunda condição é F α u = α F u

F α x , y , z = d i s t r i b u t i v a = F α x , α y , α z

E aplicando o operado

= ( 2 α x + 5 α y - 2 α z , 3 α x + 2 α y , α x + 7 α y + 7 α z )

Colocando nosso α em evidência

= α 2 x + 5 y - 2 z , 3 x + 2 y , x + y + 7 α z = α F u

Ou seja, nosso F é um operador linear como queriamos mostrar

Resposta

F x , y , z = ( 2 x + 5 y - 2 z ,   3 x + 2 y ,   x + 7 y + 7 z )

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Sejam F , G ∈ LR 3 assim definidos: F ( x ,y ,z )=( x+y ,z+y ,z ) e G ( x ,y ,z )=( x+2 y ,y-z ,x+2 z ) Determinar:a) F ∙ G ; b )K e r ( F ∙ G ) e I m( G ∙ F ) . c) uma base e a dimensão de K e r F 2
Sejam F , G ∈ LR 3 assim definidos: F ( x ,y ,z )=( x+y ,z+y ,z ) e G ( x ,y ,z )=( x+2 y ,y-z ,x+2 z ) Determinar:a) F ∙ G ; b )K e r ( F ∙ G ) e I m( G ∙ F ) . c) uma base e a dimensão de K e r F 2
Sejam F in L (R^2 , R^3) e G in L (R^3 , R^2) ) assim definidas: F (x , y) = (0 , x , x - y) e G (x , y , z) = ( x - y , x + 2 y + 3 z ) . Determinar F * G * F .
Sendo F , G e H ∈ L R 2 definidos por F x , y = x ,2 y , G x , y = y , x + y e H x , y = 0 ,x , determinar F + H , F ∙ G , G ∙ H + F , G ∙ F , H ∙ F , H ∙ F ∙ G e , G ∙ F ∙ H .
13 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.