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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 9

Seja T como no exercício anterior. Prove que a circunferência ( x   -   1 ) ²   +   ( y   -   2 ) ²   =   4 é

transformada por T num segmento de reta. Quais são as extremidades desse segmento?

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos alertando que esse exercício pode ser feito de várias formas diferentes, beleza!

Então temos que v   (   x 1 , y 1 ) e u   (   x 2 ,   y 2 ) pontos que pertence a circunferência ( x   -   1 ) ²   +   ( y   -   2 ) ²   =   4

Logo:

T   ( x ,   y )   =   ( 4 x   +   6 y ,   6 x   +   9 y )

T   ( x +   y )   =   ( 4 ( x 1 , y 1 )   +   6 (   x 2 + y 2 ) ,   6 (   x 1 , y 1 )   +   9 ( x 2 , y 2 ) )

T   ( x +   y )   =   ( 4 x 1 + 4 y 1   +   6 x 2 + 6 y 2 ) , (   6 x 1,6 y 1   +   9 x 2 + 9 y 2 )

T   x +   y = T x + T y

Para

T α u = α T ( u )

T α = T ( α 4 x 1 , y 1 +   α 6 x 2 , y 2 ; 6 α x 1 , y 1 + 9 α x 2 , y 2 )

T α = T ( 4 α x 1,4 α y 1 +   α 6 x 2,6 α y 2 ; 6 α x 1,6 α y 1 + 9 α x 2,9 α y 2 )

Ou seja:

T α u = α T ( u )

Como:

v   (   x 1 , y 1 ) e u   (   x 2 ,   y 2 ) pontos que pertence a circunferência ( x   -   1 ) ²   +   ( y   -   2 ) ²   =   4

Para v     x 1 , y 1 = 0 , 5   e   u     x 2 ,   y 2 = ( 1 ,   4 ) que pertence a circunferência e também se mantém na transformação linear.

Resposta

v     x 1 , y 1 = 0,5   e   u     x 2 ,   y 2 = ( 1 ,   4 )

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