Seja T   :   R ²   →   R ² a transformação linear dada por T   ( x ,   y )   =   ( 4 x   +   6 y ,   6 x   +   9 y ) . Mostre que todos os pontos da reta 2 x   +   3 y   =   1 são transformados por T no mesmo ponto de R ² . Qual ´é esse ponto?

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos alertando que esse exercício pode ser feito de várias formas diferentes, beleza!

Então temos que v   (   x 1 , y 1 ) e u   (   x 2 ,   y 2 ) pontos que pertence a reta 2 x   +   3 y   = 1

Logo:

T   ( x ,   y )   =   ( 4 x   +   6 y ,   6 x   +   9 y )

T   ( x +   y )   =   ( 4 ( x 1 , y 1 )   +   6 (   x 2 + y 2 ) ,   6 (   x 1 , y 1 )   +   9 ( x 2 , y 2 ) )

T   ( x +   y )   =   ( 4 x 1 + 4 y 1   +   6 x 2 + 6 y 2 ) , (   6 x 1 , 6 y 1   +   9 x 2 + 9 y 2 )

T   x +   y = T x + T y

Para

T α u = α T ( u )

T α = T ( α 4 x 1 , y 1 +   α 6 x 2 , y 2 ; 6 α x 1 , y 1 + 9 α x 2 , y 2 )

T α = T ( 4 α x 1 , 4 α y 1 +   α 6 x 2 , 6 α y 2 ; 6 α x 1 , 6 α y 1 + 9 α x 2 , 9 α y 2 )

Ou seja:

T α u = α T ( u )

Como:

v   (   x 1 , y 1 ) e u   (   x 2 ,   y 2 ) pontos que pertence a reta 2 x   +   3 y   = 1

Para v     x 1 , y 1 = 0 , 1 3 e   u     x 2 ,   y 2 = ( 1 ,   - 1 3   ) que pertence a reta e também se mantém na transformação linear.

Resposta

v     x 1 , y 1 = 0 , 1 3 e   u     x 2 ,   y 2 = ( 1 ,   - 1 3   )

Exercícios de Livros Relacionados