Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 19
Mostre que o lugar geométrico dos pontos de que equidistam das retas , e .
Passo 1
Vamos começar lembrando como se calcula a distância entre ponto e reta.
Se uma reta tem vetor diretor e passa por um ponto , então a distância dessa reta até o ponto é:
Ok, então vamos procurar os vetores diretores de cada uma das nossas três retas, e um ponto contido em cada uma delas.
A melhor forma de fazer isso é escrevendo as equações vetoriais. A reta dá o seguinte sistema:
Ou seja:
Falta fazer o mesmo para as retas e .
Passo 2
A reta dá esse sistema aqui:
Somando as duas equações:
E as duas equações que restaram são iguais (uma é só a negativa da outra!):
E então a parametrização é:
E a reta dá:
Pela primeira equação:
E substituindo isso na segunda:
E então a parametrização é:
E a equação vetorial é:
Passo 3
Então, resumindo, as equações das nossas três retas são:
E agora já podemos procurar as expressões para as distâncias. Lembrando que a fórmula é essa aqui:
Já que as três retas tem o mesmo vetor diretor ,vamos encontrar uma equação que geral que sirva para as três.
A única diferença vai ser o ponto . O produto vetorial é:
E a norma do vetor é:
Passo 4
Agora vamos substituir na fórmula. Os pontos são:
Então a fórmula para as distâncias entre um ponto qualquer e as retas , e é:
Substituindo tudo:
Simplificando um pouco:
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar o lugar geométrico dos pontos que obedecem essa relação aqui:
Vamos começar olhando para essa igualdade, que parece ser um pouco mais simples:
Elevando os dois lados ao quadrado e multiplicando por dois:
Subtraindo os dois lados por :
E agora vamos olhara para outra igualdade:
Subtraindo nos dois lados:
Então ficamos com dois planos:
Passo 6
Agora temos que resolver esse último sistema, porque é ele que vai dizer o lugar geométrico dos pontos:
Substituindo a primeira na segunda:
Ou seja:
Podemos escrever isso como a equação vetorial de uma reta :
Simplificando um pouco:
Pronto! O lugar geométrico que estávamos procurando é essa reta .
Resposta
O lugar geométrico é a reta que tem equação vetorial .