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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 2a

Exprimir o polinômio f ( t )   como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício   1   nos seguintes casos:

a) f ( t )   =   t 2

b) f ( t )   =   t 2   +   t   +   1

c) f ( t )   =   1

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Este exercício nos pede para calcular o polinômio f ( t )   como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício   1   nos seguintes casos, certo?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Passo 2

Vamos lá! De 1 a , temos:

L 0 t = t 2 - 3 t + 2 2

L 1 t = - t 2 + 2 t

L 2 t = t 2 - t 2

Queremos escrever f t como combinação linear de L i t ,   i =   { 0 ,1,2 } . Mas f t = t 2 . Daí:

f t = a × L 0 t + b × L 1 t + c × L 2 t ,   a , b ,   c ∈ R .

Passo 3

Vamos lá! Assim,

⇒ t 2 = a × t 2 - 3 t + 2 2 + b × - t 2 + 2 t + c × t 2 - t 2

( a = 0 )

⇒ t 2 = t 2 × - b + c 2 + t × 2 × b - c 2

Por igualdade de polinômios:

- b + c 2 = 1 2 × b - c 2 = 0 ⇒ - 2 × b + c = 2 2 × b - c 2 = 0 ⇒ 2 c - c = 4 ⇒ c = 4 E, consequentemente, b = 1 .

Resposta

Portanto,

t 2 = L 1 + 4 × L 2 .

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Achar o polinômio de grau menor ou igual a três tais que f 0 = 1 ,f 1 = 5 ,f 2 = 6 , utilizando o exercício anterior.
f ( t ) = a o + a 1 t + + . . . + a m t m E uma matriz A , indica-se por f ( A ) a matriz a 0 I b + a 1 A + … + a m A m ·. Calcular f ( A ) nos seguintes casos:
f ( t ) = a o + a 1 t + + . . . + a m t m E uma matriz A , indica-se por f ( A ) a matriz a 0 I b + a 1 A + … + a m A m ·. Calcular f ( A ) nos seguintes casos:
1 - b). Repetir o exercício, tomando o polinômio f ( t )=3 t 2+t+1 .
Mostre que y 1 t = e λ t , y 2 t = t e λ t são soluções linearmente independentes da equação diferencial y ' ' - 2 λ y ' + λ 2 y = 0 .