Exprimir o polinômio f ( t )   como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício   1   nos seguintes casos:

a) f ( t )   =   t 2

b) f ( t )   =   t 2   +   t   +   1

c) f ( t )   =   1

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Este exercício nos pede para calcular o polinômio f ( t )   como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício   1   nos seguintes casos, certo?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Passo 2

Vamos lá! De 1 a , temos:

L 0 t = t 2 - 3 t + 2 2

L 1 t = - t 2 + 2 t

L 2 t = t 2 - t 2

Queremos escrever f t como combinação linear de L i t ,   i =   { 0 ,1,2 } . Mas f t = t 2 . Daí:

f t = a × L 0 t + b × L 1 t + c × L 2 t ,   a , b ,   c ∈ R .

Passo 3

Vamos lá! Assim,

⇒ t 2 = a × t 2 - 3 t + 2 2 + b × - t 2 + 2 t + c × t 2 - t 2

( a = 0 )

⇒ t 2 = t 2 × - b + c 2 + t × 2 × b - c 2

Por igualdade de polinômios:

- b + c 2 = 1 2 × b - c 2 = 0 ⇒ - 2 × b + c = 2 2 × b - c 2 = 0 ⇒ 2 c - c = 4 ⇒ c = 4 E, consequentemente, b = 1 .

Resposta

Portanto,

t 2 = L 1 + 4 × L 2 .

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