Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retas

a) r 1 : x - 2 4 = y 5 = z 3 e r 2 : y = n x + 5 z = 2 x - 2

b) r 1 : y = n x - 1 z = 2 x e r 2 : e i x o   O y

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos começar determinando os vetores das duas retas.

Para reta 1 , vamos igualar a t , separar três equações, e isolar x , y , z :

x - 2 4 = y 5 = z 3 = t

x - 2 4 = t y 5 = t z 3 = t

x - 2 = 4 t y = 5 t z = 3 t

x = 2 + 4 t

O vetor será formado pelos coeficientes de t , então temos para reta 1 :

4,5 , 3

Para reta 2 , vamos isolar x em ambas as equações:

y = n x + 5 z = 2 x - 2

n x = y - 5 2 x = z + 2

x = y - 5 n x = z + 2 2

Agora vamos igualar a t , separar três equações, e isolar x , y , z :

x = y - 5 n = z + 2 2 = t

x = t y - 5 n = t z + 2 2 = t

y - 5 = n t z + 2 = 2 t

y = 5 + n t z = - 2 + 2 t

Temos como vetor da reta 2:

1 , n , 2

Molezinha, não?

Passo 2

Para determinarmos o ângulo, vamo usar:

u ∙ v = u v cos ⁡ θ

Bora obter o ângulo?

Para isso vamos calcular por partes:

u ∙ v = 4,5 , 3 ∙ 1 , n , 2

u ∙ v = 4 + 5 n + 6

u ∙ v = 5 n + 10

u v = 4 2 + 5 2 + 3 2 ∙ 1 2 + n 2 + 2 2

u v = 50 ∙ n 2 + 5

u v = 5 2 ∙ n 2 + 5

u v = 5 2 n 2 + 10

Substituindo, temos:

5 n + 10 = 5 2 n 2 + 10 cos ⁡ 30

5 n + 10 = 5 2 n 2 + 10 ∙ 3 2

5 n + 10 = 5 2 6 n 2 + 30

Multiplicando ambos os lados por 2 :

10 n + 2 0 = 5 6 n 2 + 30

E dividindo ambos os lados por 5 :

10 n + 20 5 = 6 n 2 + 30

10 n 5 + 20 5 = 6 n 2 + 30

2 n + 4 = 6 n 2 + 30

Elevando toda equaçãoa o quadrado:

2 n + 4 2 = 6 n 2 + 30 2

4 n 2 + 16 n + 16 = 6 n 2 + 30

4 n 2 - 6 n 2 + 16 n + 16 - 30 = 0

- 2 n 2 + 16 n - 14 = 0

Simplificando toda equação por - 2 , temos:

n 2 - 8 n + 7 = 0

Passo 3

Lembra quando o pessoal dizia que nunca mais iria usar Bhaskara?

Não podiam estar mais errados.

n 2 - 8 n + 7 = 0

n = - b ± Δ 2 a

Onde:

Δ = b 2 - 4 a c

Passo 4

Calculando:

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 8 2 - 4 ∙ 2 ∙ 7

Δ = 36

Retornando em:

n = - - 8 ± 36 2 ∙ 1

n = 8 ± 6 2

n 1 = 8 + 6 2 n 2 = 8 - 6 2

n 1 = 14 2 n 2 = 2 2

n 1 = 7 n 2 = 1

Prontinho!!! Agora faltam apenas uma, bora resolver ela?

Resposta

n 1 = 7

n 2 = 1

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