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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 01

  1. Justifique a afirmação feita na Observação 25-2(a).
  2. Examine as simetrias da quádrica Ω : x 2 + y 2 + 3 z 2 - 2 x y - 7 = 0 , em relação à origem, aos eixos coordenados e aos planos coordenados.
  3. Repita o item (b) para a quádrica Ω : x 2 + y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 1 = 0 .

Passo 1

  1. Considere a função

    2. f x , y , z = a x 2 + b y 2 + c z 2 + j

    Notemos que quando substituindo x por - x , y por - y e z por - z , obtemos:

    f - x , - y , - z = a - x 2 + b - y 2 + c - z 2 + j

    f - x , - y , - z = a x 2 + b y 2 + c z 2 + j = f x ,   y ,   z

    O que demonstra a simetria de Ω em relação à origem. A simetria em relação aos eixos e aos planos coordenados é obtida de maneira similar, apenas fazendo z = 0 (para o plano x y ), x = 0 (para o plano y z ), y = 0 (para o plano x z ).

    Passo 2

  2. Vamos observar as simetrias:
    1. Em relação à origem:

      2. f - x ,   - y ,   - z = - x 2 + - y 2 + 3 - z 2 - 2 - x - y - 7

      f - x , - y , - z = x 2 + y 2 + 3 z 2 - 2 x y - 7 = f x , y , z

      Logo, há simetria em relação à origem.

    2. Simetria em relação ao plano z = 0 . Considere um ponto P = x 0 ,   y 0 ,   z 0 . O ponto simétrico será P ' = x 0 ,   y 0 ,   - z 0 . Assim,

      3. f x 0 ,   y 0 ,   - z 0 = x 0 2 + y 0 2 + 3 - z 0 2 - 2 x 0 y 0 - 7

      f x 0 ,   y 0 ,   - z 0 = f x 0 ,   y 0 ,   z 0

      Portanto, há simetria em relação ao eixo z .

    3. Simetria em relação ao plano y = 0 . Considere um ponto P = x 0 ,   y 0 ,   z 0 . O ponto simétrico será P ' = x 0 ,   - y 0 ,   z 0

      4. f x 0 ,   - y 0 ,   z 0 = x 0 2 + - y 0 2 + 3 z 0 2 - 2 x 0 - y 0 - 7

      f x 0 ,   - y 0 ,   z 0 = x 0 2 + y 0 2 + 3 z 0 2 + 2 x 0 y 0 - 7

      Portanto, não há simetria em relação ao plano y = 0 .

    4. Da mesma forma, mostramos que não há simetria em relação ao plano x = 0 .

    Portanto, há simetria em relação a origem e ao plano z = 0 .

    Passo 3

  3. Notamos que podemos escrever

x 2 + y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 1 = 0 ⟺

x - y 2 + 3 z 2 + 1 = 0

que não possui soluções reais. Logo, representa o conjunto vazio. A pergunta que fica é a seguinte: o conjunto vazio é simétrico em relação a alguma coisa? A resposta deve ser afirmativa, já que para provarmos que não é simétrico, deveríamos dar um contraexemplo. Aqui, não conseguimos esse contraexemplo. Nos resta dizer que Ω é totalmente simétrico.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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