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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 7

Mostre que conjunto dos pontos do espaço que satisfazem uma equação da forma f x , y = 0 ou f x , y = 0 ou f y , z = 0 representa uma superfície cilíndrica que tem retas geratrizes paralelas ao eixo cuja variável não aparece na equação. Equação esta que é também a equação da curva diretriz no plano coordenado correspondente as variáveis que aparecem na equação.

Passo 1

Fala aeeeee. Tudo na paz ?

Vamos fazer uma análise para f ( x , y ) o resultado será análogo para f ( x , z ) e f ( y , z ) .

Seja f ( x , y ) = 0 a curva diretriz da superfície cilíndrica S .

Seja V um vetor paralelo as retas diretrizes e não paralelo ao plano x y , temos:

V = ( a , b , 1 )

Passo 2

Seja P um ponto qualquer sobre S e P ' um ponto do plano x y :

P = ( x , y , z )

P ' = ( x ' , y ' , 0 )

P ∈ r e t a   g e r a t r i z   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   P ' P →   é   p a r a l e l o   a   V   e   P ' é   u m   p o n t o   d a   c u r v a   d i r e t r i z .

Logo:

P ' P → = λ V   e   f x , y = 0

x - x ' , y - y ' , z = λ a , b , 1

z = λ

x ' = x - a z

y ' = y - b z

Passo 3

Assim, a equação da superfície cilíndrica S é:

S : f x - a z , y - b z = 0

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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