Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 8a
Identifique a cônica e, quando for o caso, obtenha seus parâmetros geométricos (, , ou ) e determine, em relação ao sistema inicial, os elementos geométricos principais: centro, focos, vértices, eixos, assíntotas, diretriz, etc.
(a) .
Passo 1
Bom pessoal, esses problemas exigem um pouco de criatividade da nossa parte. Temos que achar algum jeito de reescrever a equação, de forma que fique fácil identificar qual é a cônica envolvida.
(a) Nesse primeiro item, é uma boa opção resolver como se tivéssesmos uma equação de segundo grau em :
Então vamos agrupar um pouco:
Você também poderia resolver como uma equação em , mas fica um pouco mais complicado!
Passo 2
Então a raiz dessa equação é:
Simplificando um pouco:
Colocando o em evidência na raiz:
E aquele termo da raiz é um produto notável:
Dividindo tudo por :
Ou seja, a primeira solução é:
E a segunda é:
Beleza, então essa equação descreve a união de duas retas:
Passo 3
Você pode verificar isso escrevendo as equações desse jeito aqui:
E então é só escrever que:
E fazendo essa multiplicação você vai chegar exatamente na expressão do enunciado!
Resposta
A equação descreve a união das retas e .