Identifique a cônica e, quando for o caso, obtenha seus parâmetros geométricos ( a , b , c ou p ) e determine, em relação ao sistema inicial, os elementos geométricos principais: centro, focos, vértices, eixos, assíntotas, diretriz, etc.

(a) 3 x 2 + 4 x y + y 2 - 2 x - 1 = 0 .

Passo 1

Bom pessoal, esses problemas exigem um pouco de criatividade da nossa parte. Temos que achar algum jeito de reescrever a equação, de forma que fique fácil identificar qual é a cônica envolvida.

(a) Nesse primeiro item, é uma boa opção resolver como se tivéssesmos uma equação de segundo grau em y :

3 x 2 + 4 x y + y 2 - 2 x - 1 = 0

Então vamos agrupar um pouco:

1 y 2 + 4 x y + 3 x 2 - 2 x - 1 = 0

Você também poderia resolver como uma equação em x , mas fica um pouco mais complicado!

Passo 2

Então a raiz dessa equação é:

y = - 4 x ± 4 x 2 - 4 1 3 x 2 - 2 x - 1 2 1

Simplificando um pouco:

y = - 4 x ± 16 x 2 - 12 x 2 + 8 x + 4 2 1

y = - 4 x ± 4 x 2 + 8 x + 4 2 1

Colocando o 4 = 2 2 em evidência na raiz:

y = - 4 x ± 2 2 x 2 + 2 x + 1 2

y = - 4 x ± 2 x 2 + 2 x + 1 2

E aquele termo da raiz é um produto notável:

y = - 4 x ± 2 x + 1 2 2

Dividindo tudo por 2 :

y = - 2 x ± x + 1

Ou seja, a primeira solução é:

y = - 2 x + x + 1         →           y = - x + 1

E a segunda é:

y = - 2 x - x + 1         ⇒           y = - 3 x - 1

Beleza, então essa equação descreve a união de duas retas:

  y = - x + 1 y = - 3 x - 1

Passo 3

Você pode verificar isso escrevendo as equações desse jeito aqui:

  y = - x + 1 y = - 3 x - 1         ⇒             - x + 1 - y = 0 - y - 3 x - 1 = 0        

E então é só escrever que:

- x + 1 - 1 - y - 3 x - 1 = 0

E fazendo essa multiplicação você vai chegar exatamente na expressão do enunciado!

Resposta

A equação descreve a união das retas y = - x + 1 e y = - 3 x - 1 .

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